Postavit (matematiku)

V abstraktní algebře, pole je algebraická struktura ve kterém operace sčítání, odčítání, násobení, a divize (kromě divize nulou) smět být vykonáván a asociativní, komutativní, a distribuční předpisy platí, který být známý z aritmetiky obyčejný čísla.

Pole jsou důležité předměty studia v algebře od té doby, co oni poskytují pořádné zevšeobecňování domén čísla, takový jako soubory racionálních čísel, reálná číslanebo komplexní čísla. Pole byla nazývána rozumnými doménami.

Představa o poli je použití, například, v definovat vectorss a matrices, dvě struktury v lineární algebře jehož součásti mohou být prvky libovolného pole. Galois teorie studuje symetrii rovnic tím, že vyšetřuje cesty ve kterých polích mohou být obsažené v každém jiný. Vidět Teorie pole (matematika) pro více.

Tabulka s obsahem

1 definice 2 příklady polí 3 některé první teorémy 4 budovat nová pole od daných 5 historie 6 příbuzných témat

Definice

pole je komutativní prsten (F, +, *) takový to 0 se nerovná 1 a všechny elementy F kromě 0 mít multiplikativní inverzní.

Hláskovaný, toto znamená to následující držení:

; Uzavření F dolů + a *: Pro všechny ,b patřit k F, oba + b a * b patřit k F (nebo více formálně, + a * být binární operace na F);

; Oba + a * být asociativní: Pro všechny ,b,c v F, + (b + c) = ( + b) + c a * (b * c) = ( * b) * c.

; Oba + a * být komutativní: Pro všechny ,b patřit k F, + b = b + a * b = b * .

; Operace * je distribuční přes operaci +: Pro všechny ,b,c, patřit k F, * (b + c) = ( * b) + ( * c).

; Existence identity přísady: Tam existuje element 0 v F, takový to pro všechny patřit k F, + 0 = .

; Existence multiplikativní identity: Tam existuje element 1 v F různý od 0, takový to pro všechny patřit k F, * 1 = .

; Existence inverses přísady: Pro každý patřit k F, tam existuje element - v F, takový to + (-) = 0.

; Existence multiplikativních inverses: Pro každý a ne; 0 patřit k F, tam existuje element ^-1 v F, takový to * ^-1 = 1.

Požadavek 0 a ne; 1 zajistí, že soubor, který jen obsahuje jedinou nulu není pole. Přímo z axiómů, jeden může ukazovat to (F, +) a (F - {0}, *) být komutativní skupiny a to proto (vidět základní skupinovou teorii) přísada inverzní - a multiplikativní inverzní ^-1 být jedinečně předurčený . Dále, multiplikativní inverzní produktu je stejný s produktem inverses:

(* b)^-1 = ^-1 * b^-1

poskytoval oba a b non-nula. Jiná užitečná pravidla obsahují

- = (- 1) *

a více obecně

- (* b) = (-) * b = * (-b)

také jak

* 0 = 0,

všechna pravidla známý od základní aritmetický.

Příklady polí

• racionální čísla Q = { /b | , b v Z, b a ne; 0} kde Z je soubor celých čísel.

• reálná čísla R .

• komplexní čísla C.

• Nejmenší pole má jen dva elementy: 0 a 1. To je někdy označováno F₂ nebo Z₂ a moci být definován dvěma stoly

     +  0  1        *  0  1
     0  0 1        0  0 0
     1  1 0        1  0 1

To má důležitá použití v informatice, obzvláště v kryptografii a kódovací teorii.

• Více obecně: jestliže q > 1 je síla prvočísla, pak tam existuje (nahoru k izomorfismus) přesně jedno konečné pole s q elementy. Žádná jiná konečná pole existují. Například, pro prvočíslo p, soubor modula celých čísel p je konečné pole s p elementy: toto je často psáno jak Z_p = {0, 1,..., p-1} kde operace jsou definovány tím, že vykonává operaci v Z, dělit se p a brát zbytek, vidět modulární aritmetiku.

• Reálná čísla obsahují několik zajímavých polí: skutečný algebraická čísla, vypočitatelná čísla, a definovatelná čísla.

• Komplexní čísla obsahují pole algebraických čísel, algebraické uzavření Q.

• Racionální čísla mohou být rozšířena k polím p- adic čísla pro každé prvočíslo p.

• Nechaný E a F být dvě pole s E subfield F (tj., podmnožina F obsahovat 0 a 1, uzavřel pod operacemi + a * F a s jeho vlastními operacemi definovanými omezením). Nechaný x být element F ne v E. Pak E(x) je definován být nejmenší subfield F obsahovat E a x. Například, Q(i) je subfield komplexních čísel C sestávat ze všech množství formy + bi kde oba a b být racionální čísla.

• Pro dané pole F, soubor F(X) racionálních funkcí v proměnné X s koeficienty v F je pole; toto je definováno jako soubor kvocientů polynomials s koeficienty v F.

• Jestliže F je pole, a p(X) je nesnížitelný polynomial v prstenu polynomial F[X], pak kvocient F[X] /p(X) > je pole s isomorphic subfield k F. Například, R[X] /X²+ 1 > je pole (ve skutečnosti, to je isomorphic k poli komplexních čísel).

• Když F je pole, soubor F((X)) formální Laurent série přes F je pole.

• Jestliže V je algebraický rozmanitost přes F, pak racionální funkce V a rarr; F vytvořit pole, pole funkce V.

• Jestliže S je Riemann povrchpak funkce meromorphic S a rarr; C vytvořit pole.

• Jestliže Já je množina indexů, U je ultrafilter na Já, a F_i je pole pro každý i v Já, ultraproduct F_i (používání U) je pole.

• hyperreal čísla vytvoří pole obsahovat reals plus nekonečně malá a nekonečná čísla.

• surreal čísla vytvoří pole obsahovat reals, kromě pro skutečnost, že oni jsou pořádná třída, ne soubor. Soubor všech čísel surreal s narozeninami menší než někteří nedostupný kardinální číslo vytvořit pole.

• nimbers vytvoří pole, znovu kromě pro skutečnost, že oni jsou pořádná třída. Soubor nimbers s narozeninami menší než 2 ^ (2 ^ n), nimbers s narozeninami menší než některý nekonečný kardinál jsou všechny příklady polí.

Některé první teorémy

• Soubor non-nulové prvky pole F (typicky označil F^×) je skupina abelian dolů násobení. Každá konečná podskupina F^× je cyklický.

• charakteristika nějakého pole je nula nebo prvočíslo. (charakteristika je definována jako nejmenší pozitivní celé číslo n takový to n· 1 = 0, nebo nula jestliže ne takový n existuje; tady n· 1 kandiduje na n summands 1 + 1 + 1 +... + 1.)

• Množství elementů v konečných polích je primární síla.

• Jako prsten, pole má žádné ideály kromě {0} a sám.

• Pro každé pole F, tam existuje (až do izomorfismu) jedinečné pole G který obsahuje F, je algebraický přes F, a je algebraicky uzavřený. G je nazýván algebraickým uzavřením nebo F.

Budovat nová pole od daných

1. Jestliže podmnožina E pole (F, +, *) spolu s operacemi *, + omezil se na E je sám pole, pak to je nazýváno subfield F. Takový subfield má stejný 0 a 1 jak F.
2. Pole polynomial F(x) je pole zlomků polynomials v x s koeficienty v F.
3. algebraické rozšíření pole F nejmenší pole obsahuje F a kořen nesnížitelného polynomial p(x) v F[x]. Jinak, to je totožné s prstenem faktoru F[x] /p(x) >, kde p(x) > je ideál vytvářel p(x).

Historie

Vidět Teorie pole (matematika).

Příbuzná témata

Vidět Glosář teorie pole pro více definice v teorii pole. \ n