Rozšíření pole

V abstraktní algebře, rozšíření pole K je pole L který obsahuje K jako subfield. Například, C (pole komplexních čísel) je rozšíření R (pole reálných čísel), a R je sám rozšíření Q (pole racionálních čísel). Notace L/K je často používán naznačovat skutečnost, že L je rozšíření K.

Více obecně, rozšíření K je oddělený pár polí K * a L, kde L obsahuje K * jako subfield, a K isomorphic k K *. Kde to nezpůsobí zmatek, my identifikujeme K a K *, jak je uvedeno výše a dole.

Daný rozšíření pole L/K, L moci být považován za vektorový prostor přes K, se sčítáním vektoru být sčítání pole na L, a skalární násobení být omezení násobení pole na L. rozměr tohoto vektoru prostor je nazýván mírou rozšíření, a je označován [L : K]. Rozšíření je řekl, aby byl konečný nebo nekonečný shodovat se jak míra je konečná nebo nekonečná. Například, [C : R] = 2, tak toto rozšíření je konečné. Kontrastem, [R : Q] = c ( mohutnost kontinua), tak toto rozšíření je nekonečné. Jestliže M je rozšíření L který je rozšíření K, pak [M : K] = [M : L]. [L : K].

Jestliže L je rozšíření K, pak element L který je kořen nonzero polynomial přes K je řekl, aby byl algebraický přes K. Jestliže to není algebraické pak to je řekl, aby byl transcendentní. (zvláštní případ kde L = C a K = Q je zvláště důležitý. Vidět Algebraické číslo a Transcendentní číslo.) jestliže každý element L je algebraický přes K, pak rozšíření L/K je řekl, aby byl algebraický, jinak to je řekl, aby byl transcendentní. Jestliže každý element L \ \ K je transcendentní přes K, pak rozšíření je řekl, aby byl čistý transcendentní. To může být ukazováno že rozšíření je algebraické jestliže a jediný jestliže to je spojení jeho konečného subextensions. Zvláště, každé konečné rozšíření je algebraické. Například, C/R, být konečný, je algebraický. Ale R/Q je transcendentní, ačkoli ne čistý transcendentní. Viďte Algebraické rozšíření pro více informace o algebraických rozšířeních.

Jestliže L/K je rozšíření pole a V je podmnožina L, pak pole K(V) je definován být nejmenší subfield L který obsahuje K a V. To sestává ze všech těch elementů L který může být dostán používat konečné množství operací pole +, -, *, / platil o elementech od K a V. Jestliže L = K(V), my říkáme, že L je vytvořený V.

Rozšíření pole vytvořené jediným elementem je nazýváno jednoduchým rozšířením. Jednoduché rozšíření je konečné jestliže vytvořený algebraickým elementem, a čistý transcendentní jestliže vytvořený transcendentním elementem. Například, C je jednoduché rozšíření R, jak to je tvořeno i (druhá odmocnina minusu jeden). Rozšíření R/Q je ne jednoduchý, jako to je žádný konečný ani čistý transcendentní.

Rozšíření pole, které má Galois skupinu je nazýváno Galois rozšířením. Jestliže Galois skupina je Abelian, pak rozšíření je nazýváno Abelian rozšířením. Například, C/R je Abelian rozšíření, jeho Galois seskupí bytí objednávky 2. Ale R/Q je ne Galois rozšíření jak jediné pole automorphism R je identita automorphism.