Figurate čísla

figurate číslo represention čísla jako pravidelný geometrický vzorec, říkat, teček. Jestliže vzor je polytopic, figurate je označován polytopic číslem.

První nemnoho ' ' ' trojúhelníková čísla mohou být se budovat od řad 1, 2, 3, 4, 5, 6 položek.

    *    |     *       |     *     |     *     |     *     |     *     |

        |    * *      |    * *    |    * *    |    * *    |    * *    |
        |             |   * * *   |   * * *   |   * * *   |   * * *   |
        |             |           |  * * * *  |  * * * *  |  * * * *  |
        |             |           |           | * * * * * | * * * * * |
        |             |           |           |           |* * * * * *|

ith polytopic číslo sedí rovnici: P_i(n) = (n + i = 1)! / n! (i - 1)!, pro n = 1, 2, 3,..., kde n! je Faktoriál. První tři polytopic čísla jsou:

• P₂(n) =? n (n + 1) pro trojúhelníková čísla;
• P₃(n) = 1/6 n (n + 1) (n + 2) pro čtyřboká čísla;
• P₄(n) = 1/24 n (n + 1) (n + 2) (n + 3) pro čísla pentatopic.

Naše současné požadavky “druhá mocnina” a “kubické číslo” pocházejí z jejich geometrické reprezentace jako čtverec nebo kostka.

Další štítek pro tyto čísla je Pythgorean geometrieod té doby, co Pythagoras je připočítán s zavádět je, a ponětí, že tato čísla jsou tvořena od Gnomon nebo základní jednotka.

Například, gnomon druhé mocniny je Liché číslo, generála forma 2n + 1, n = 1, 2, 3,..., snadno demonstroval takto.

                            8 8 8 8 8 8 8 8
                            8 7 7 7 7 7 7 7
                            8 7 6 6 6 6 6 6
                            8 7 6 5 5 5 5 5
                            8 7 6 5 4 4 4 4
                            8 7 6 5 4 3 3 3
                            8 7 6 5 4 3 2 2
                            8 7 6 5 4 3 2 1

Převádět od n-čtvercový k (n + 1) - čtvercový (říkat, 7-čtvercový k 8-čtvercový):

• k n-čtvercový (říkat 7-čtvercový), sousedit s (n + 1) - řady (8-řady) elementů;
• také sousedit s (n + 1) - sloupce (8-sloupce);
• tak adjunctions úhrn (n + 1) + (n + 1) = 2n + 2 = 2 (n + 1) elementy (říkat, 2x8 = 16);
• čtvercový vzor je dokončen tím, že sousedí s elementem rohu (čísla podél úhlopříčky, od horní odešel ztišit pravý), říkat 8);
• tak, k n-čtvercový, byl přidán 2 (n + 1) + 1 elementy (říkat, 16 + 1 = 17), který je liché číslo;
• tak gnomon nějakého čtverce je liché číslo: 1, 3, 5,....

Nahoře čtverec je 8 x 8 = 64 elementů. A si všimnout sumy prvních 8 lichých čísel: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64.

Naopak, jeden může spočítat druhou odmocninu nějakého čísla odečtením zvláštních čísel. Tak, 64 - 1 = 63; 63 - 3 = 60; 60 - 5 = 55; 55 - 7 = 48; 48 - 9 = 39; 39 - 11 = 28; 28 - 13 = 15; 15 - 15 = 0. Odčítání prvních 8 lichých čísel od 64 výnosů 0; proto, čtverec-kořen 64 je 8.

Nuda rostoucího množství odčítání jako číslo roste je obejit metodou podobnou standardnímu způsobu čtverce-povzbuzovat učil v škole. Například: 1225 = 35 x 35, si všimnout sumy číslic této druhé odmocniny: 3 + 5 = 8. Tento čtverec-kořenová zkratka redukuje 35 odčítání k jen 8 ubtractions. Etc. Zkratka zahrne dva “triky”: markoff trik a resumptive napálí.

Markoff trik je už známý od známého squareroot algoritmu. Jeden odliší číslo cíle v párech číslic, od pravý, jak v známkování 1225 jak 12'25; pak, vypočítavost začne první číslicí-pár nalevo. Důvod to srovná jeden-číslo číslice skončí 1 - nebo 2-čtverec číslice. Tak, 1, 2, 3 mít, příslušně, 1-čtverce číslice 1, 4, 9. Ale 4 má 2-čtverec číslice 16; a čísla 5, 6, 7, 8, 9 mít 2-čtverce číslice. To počítá s tímto, jeden začne dvěma číslicemi poskytovat jednu číslici u každého procesu-stádium.

Resumptive trik (jedinečný pro tento algoritmus daru) přeřadí z jednoho páru cílových číselných číslic k jeho příští (nakloněně) dvě číslice, vysvětlil to v vypočítávat druhou odmocninu 1225.

1. Načrtnout 1225 jak 12'25; začít vypočítavost s levým párem číslic, jmenovitě, 12.
2. Začít odečíst zvláštní čísla: 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; ale příští liché číslo, 7, moci ne být odečten od Rozdílu 3, tak resumptive trik je potřebován.
3. Odešel-většina číslice druhé odmocniny, 3, vlastně reprezentovat 30, protože druhá číslice od správný v desetině numeration je “tens číslice”.
4. K rozdílu 3 (= 8 - 5), sousedit s dalšími dvěma odlišenými číslicemi (25), trvat 325, a pokračovat v odčítání lichého čísla.
5. Poslední “úspěšný” menšitel byl 5; ale příští liché číslo, 7, moci ne být odečten, tak pozměnit mezi 5 a 7 pro číslo 6. (toto je “první část” resumptive triku.)
6. Protože (známý nahoře) úspěšný 3 odčítání vlastně reprezentovat 2-číslice 30, zacházet s interppolated 6 jak 60; pokračovat v odčítání lichého čísla s prvním lichým číslem v sixities, jmenovitě, 61. (toto je “seond a koncová část” resumptive triku nebo subalgorithm.)
7. Vyplývat: 325 - 61 = 264; 264 - 63 = 201; 201 - 65 = 136; 136 - 67 = 69; 60 - 69 = 0.
8. Mít přešel od 325 k 0 pět odčítání, druhá číslice je 5: a 30 + 5 - 35, to je, druhá odmocnina 1225 je 35, trval v přesně 3 + 5 = 8 odčítání tím, že aplikuje markoff a triky resumptive nebo ubalgorithms.

Vidět znovu, zvážit to 144 = (12)². Čtverec-kořen je snadno spočítán dvanácti odčítáními: 144 - (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25) = 144 - 144 = 0. Nicméně, značka-pryč a resumptive triky redukují toto k 1 + 2 = 3 přibližně číselná odčítání.

1. Markoff 144 jak 1'44.
2. Začínat odešel-většina pára, odstartovat odčítání 1 - 1 = 0; tak leftmost číslice čtverce-kořen je 1, reprezentovat 10.
3. Svrhnout druhý pár číslic: 0 + 44 = 44 a beging odečtení zvláštních čísel.
4. Pozměnit mezi “úspěšný” 1, “neúspěšný” 3, jmenovitě, 2, reprezentovat twenties, jehož první liché číslo je 21, pokračovat v odčítání s 21.
5. 44 - 21 = 23; 23 - 23 = 0, končit dvěma odčítáními tak sekundou číslice je 2: 10 + 2 = 12 jako čtverec-kořen 144, trval 1 + 2 = 3 sbubtracting lichých čísel.

zvláštní případ zahrnuje nulový rozdíl, ilustrovaný v 10² = 100. Načrtnout 100 jak 1'00, pak 1 - 1 = 0 (rozdíl), který se spojí s druhým párem číslic jak 000, ale toto v desítkovém zápisu je jednoduše 0, končit 10 jako druhá odmocnina, dosáhl v 1 + 0 = 1 odčítání. Další příklad je 20² = 400. Načrtnout 400 jak 4'00. pak 4 - (1 + 3) = 0 (rozdíl), který se spojí s druhým párem číslic jak 0000, reprezentovat 0, dávat kořen 20, dosáhl v 2 + 0 = 2 odčítání, tj., 4 - (1 + 3).

Kostky přirozených čísel nebo pozitivní celá čísla mohou být vytvoření od S = 1, 3, 5, 6, 7,..., 2n + 1,...., n = 1, 2, 3,..., tím, že “pohybuje součty”, podobný “klouzavým průměrům” Statistik:

1. Levá strana S: 1 = 1³.
2. Mext dva členové S: 3 + 5 = 8 = 2³.
3. Další tři členové S: 7 + 9 + 11 = 27 = 3³.
4. Další čtyři členové S: 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4³.
5. Dalších pět S: 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5³.
6. Dalších šest S: 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 6³.
7. Dalších sedm S: 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343 = 7³.
8. Etc.

Zřejmě, “pohybovat rozdíly” S dát kostku-kořeny. Je tam zkratka? Moci S být vykonáván vyrábět čtvrté energie?

Tato procedura (brát mnoho slov vysvětlit to, ale rychle provedený) je neomezený na vypočítavé suqare kořeny přirozených čísel nebo pozitivní inegers. To může dokonce být aplikováno k vypočítávat nerozumnou druhou odmocninu 2, k nějakému množství desetinných míst. Etc.

Děti školy utvoří figurate čísla od oblázků, láhev opatří, etc. Jako prémie, děti mohou používat figurate čísla objevit Komutativní zákon a asociativní právo pro sčítání a násobení -- práva obvykle diktovala jim -- tím, že buiding řádky a stoly teček.

Používat hvězdičky v místě teček nebo uzávěrech na láhve nebo oblázky commutativity přísady 2 + 3 = 3 + 2 = 5 se stojí:

• * | * * * --> * * * | * * --> * * * * *

A multiplikativní commutativity 2 X 3 = 3 X 2 = 6 se stojí:

• * --> * * * --> * * * * * *
• * * * *
• *

Vedle odčítací metody, metoda přísady může také přiblížit se druhým odmocninám pozitivních celých čísel a vyřešit kvadratické rovnice (viz “prairiestate” odkaz).

Představy o číslech figurate a gnomon implicitně očekávají moderní pojetí Rekurze.

Příbuzný druh geometrie se nalézá pod Pickovým teorémem.

Odkazy

Gnomon, od Pharaohs k fraktálům. Midhat J. Gazalé, Princeton univerzitní tiskárna, Princeton, 1999.

http://faculty.prairiestate.edu/skilowit/htdocs/projects/609. htm