Konečná geometrie

Konečná geometrie popisuje nějaký geometrický systém, který má jen konečné množství bodů. Euclidean geometrie, například, je ne konečný, protože Euclidean linka obsahuje nekonečně mnoho bodů, ve skutečnosti přesně stejný množství bodů jak tam jsou reálná čísla. Tam jsou dva hlavní druhy konečné geometrie: affine a projective. V affine geometrii, paralelní postulát myslí si, znamenat, že normální smysl pro paralelní linky platí. V geometrii projective, kontrastem, nějaké dvě linky protínají na jedinečném místě a tak rovnoběžky neexistují. Jak konečná affine geometrie tak konečná projective geometrie mohou být popisováni docela jednoduchý axiómy.

Pro geometrii affine, axiómy jsou takto:

1. Daný nějaké dva zřetelné body, tam je přesně jeden linka, která zahrnuje oba poukáže.
2. paralelní postulát: Daný linka L a bod P ne na L, tam existuje přesně jedna linka přes P to je paralelní k L.
3. Tam existuje soubor čtyř bodů, žádné tři colinear.

Poslední axióm zajistí, že geometrie není prázdná, zatímco první dva specifikovat povahu geometrie. Nejjednodušší affine letadlo obsahuje jen čtyři body; to je nazýváno affine letadlem objednávky 2. Protože ne tři colinear, nějaký pár bodů určuje jedinečnou linku a tak toto letadlo obsahuje šest linek. Více obecně, konečné affine letadlo objednávky n má n² body a n² + n linky; každá linka obsahuje n body, a každý bod je zapnutý n + 1 linky.

(Postavy affine letadel objednávek 2 a 3 být přidán.)

Axiómy projective geometrie jsou:

1. Dva zřetelné body leží na přesně jedné lince.
2. Dvě zřetelné linky protínají na přesně jednom místě.
3. Tam existuje soubor čtyř bodů, žádné tři colinear.

Diagram Fano letadla

Zkouška prvních dvou axiómů ukáže, že oni jsou téměř totožní, kromě toho role bodů a linek byly vyměněné. Toto založí princip duality pro geometrii projective, znamenat, že nějaké opravdové prohlášení o geometrii zůstane pravdivé jestliže my vyměníme body za linky a linky pro body. Zatímco třetí axióm jen vyžaduje existenci čtyř bodů, letadlo musí obsahovat přinejmenším sedm bodů aby uspokojil první dva axiómy. V tomto nejjednodušší projective přeletí, tam je také sedm linek; každý bod je na třech linkách a každá linka obsahuje tři body. Toto zvláštní projective letadlo je někdy nazýváno Fano letadlem. Jestliže některý linek je odstraněn od letadla, spolu se body na tom příjmu, výsledná geometrie je letadlo affine objednávky 2. Z tohoto důvodu, Fano letadlo je nazýváno letadlem projective objednávky 2. Obecně, letadlo projective objednávky n má n² + n + 1 body a stejný množství linek (respektovat dualitu); každá linka obsahuje n + 1 body, a každý bod je zapnutý n + 1 linky.

To je zachovalé že oba affine a projective letadla objednávky n existovat když n je prvočíslo zvednuté k pozitivní celé číslo exponent. To je věřil (více přesně, domýšlel se) to žádná konečná letadla existují s objednávkami, které nejsou primární síly, ačkoli toto sdělení nebylo dokázané. Nejlepší výsledek doposud je Bruck-Ryser teorém, který říká: Jestliže n je pozitivní celé číslo formy 4k+ 1 nebo 4k+ 2 a n je nestejný se sumou dvou celočíselných čtverců, pak n nenastane jako pořadí konečného letadla. Nejmenší celé číslo, které není primární síla a ne krytý Bruck-Ryser teorém je 10; 10 je formy 4k+ 2, ale to je stejné se sumou čtverců 1²+3². Používat vyspělé techniky a analýzu počítače, to bylo ukázané to 10 je také ne pořadí konečného letadla. Příští nejmenší číslo zvážit to je 12, pro kterého žádný pozitivní ani záporný výsledek byl dokázaný.