Nejprve-objednávat počet predikátu

Nejprve-objednávat počet predikátu nebo nejprve-objednávat logiku (FOL) je teorie v symbolické logice že státy počítaly sdělení takový jak “tam existuje objekt takový to...” nebo “pro všechny objekty, to je případ to...”.

Nejprve-logika objednávky je rozlišována od vyšší-objednávat logiku v tom to nedovolí sdělení takový jak “pro každou vlastnost, to je případ to...” nebo “tam existuje soubor objektů takový to...”.

Přesto, nejprve-logika objednávky je silná dost formovat všechny teorie množin a proto doslova všichni matematiky. Je to klasická logická teoretická základová matematika. To je silnější teorie než logika sententialale slabší teorie než aritmetika, teorie množin, nebo Sekunda-objednávat logiku.

Jako nějaká logická teorie, nejprve-počet objednávky sestává z

• specifikace jak k pojmu syntactically opraví sdělení (studna-tvořil rovnice)
• soubor axiómů, každý axióm být studna-tvořil rovnici sám
• soubor odvozovacích pravidel, která dovolí jednoho dokázat věty od axiómů nebo časnějších dokázaných vět.

Tam jsou dva typy axiómů: logické axiómy, které ztělesní obecné pravdy o pořádné úvaze zahrnovat počítaná sdělení a axiómy popisovat obsah po ruce, například axiómy popisovat soubory v teorii množin nebo axiómech popisovat čísla v aritmetice.

Zatímco soubor odvozovacích pravidel v nejprve-počet objednávky je konečný, soubor axiómů může velmi dobře být a často je nekonečný. Nicméně my vyžadujeme to tam je generál algoritmus který může rozhodnout se pro danou studnu-tvořil rovnici zda to je axióm nebo ne. Dále, tam should být algoritmus, který může rozhodnout se zda daná aplikace odvozovacího pravidla je správná nebo ne.

Studna-se tvořil rovnice obsahují:

• proměnné takový jak x, y,... který jsou držitelé místa pro předměty domény v úvaze
• konstanty objektu takový jak 0, 1 nebo prázdná množina? který stát pro fixované individuální objekty v naší doméně
• predikát konstanty takový (lessThan), a isin; (isIn), ' = ' (se rovná) který stát pro fixované vztahy mezi nebo vlastnosti našich objektů. Tito jsou také nazvaní nejprve-objednávat predikáty odlišit je od predikátů, které mluví o predikátech.
• konstanty funkce takový jak +, * který stát pro fixované funkce pojit se s předměty jako argumenty a vracet objekty jako hodnoty
• logické spojky takový jak a a; (a), a nebo; (nebo), a rArr; (implikuje), ¬ (ne), a existovat; (thereExists existenční kvantifikátor) a a forall; (forAll nebo univerzálie quantifier). Všichni tito kromě pro poslední dva být také použit v logice propositional.

Objekt, predikát a konstanty funkce chtějí typicky záviset na zvláštní doméně, o které my mluvíme.

Místo toho, aby dal zdlouhavou definici studny-tvořil rovnice, my budeme prostě se dívat na některé příklady od aritmetiky spolu s jejich obyčejným výkladem. Naše doména tady je soubor přirozených čísel:

a forall; x a existovat; y : y > x

(ie: forAll x thereExists y suchThat y greaterThan x )

Pro každé číslo x tam existuje větší číslo y. To je pravdivé.

a existovat; y a forall; x : y > x

(ie: thereExists y forAll x suchThat y greaterThan x )

Tam existuje číslo y který je větší než každé číslo x. To není pravdivé.

a forall; x ((a existovat; y : 6 * y=x ) a rArr; (a existovat; y : 3 * y=x ))

(ie: forAll x (thereExists y suchThat 6 *y=x) implikuje (thereExists y suchThat 3 *y=x))

Jestliže číslo x je dělitelný 6, pak to je také dělitelné 3. Pravdivý.

a existovat; x : ¬ a existovat; y : y x

(ie: thereExists x suchThat (ne ThereExists y suchThat y x ))

Tam existuje číslo x takový to tam neexistuje menší číslo y. Pravdivý (brát x= 0).

Teď jeden by musel napsat 15 logických axiómů a 2 odvozovací pravidla kompletně specifikovat první-objednávat počet. Jak může jeden být jistý, že ty axiómy a pravidla jsou dost? Toto je předmět Gödel úplnosti teorém: jestliže vy vyrazíte s některými axiómy obsahu a vy se díváte na jisté sdělení, pak to je možné se ukázat jako to používání sdělení jen axiómy obsahu, 15 logických axiómů a dvě odvozovací pravidla jestliže a jediný jestliže sdělení je pravdivé v každé doméně ve kterém axiómy obsahu jsou pravdivé. (vidět také Leon Henkin)

Peano axiómy pro předurčeného člověka čísla jsou někdy formulována jako sekunda-provozní odpočty (axióm přerušení mluví o všech “vlastnostech” nebo všech “souborech čísel”), ale toto není nutné jestliže jeden je ochotný dovolit nekonečně mnoho nejprve-nařídí axiómy. Nejprve-objednat verze Peano axiómů znamená.

My používáme konstanty objektu 0 a 1, konstanty funkce + a *, a konstanta predikátu =. Tady být axiómy:

1. a forall; x : ¬ (0 = x + 1)
   • tj.: forAll x suchThat ne (0 = x + 1)
   • tj.: žádné číslo má 0 jako jeho sucessor
2. a forall; x a forall; y : ¬ (x = y) a rArr; ¬ (x + 1 = y + 1)
   • tj.: forAll x forAll y suchThat ne (x=y) implikuje ne (x + 1 = y + 1)
   • tj.: jestliže x a ne; y, pak x + 1 a ne; y + 1
3. a forall; x : x + 0 = x
   • tj.: forAll x suchThat x + 0 = x
   • tj.: pro všechny x, x + 0 = x
4. a forall; x a forall; y : (x + y) + 1 = x + (y + 1)
   • tj.: forAll x forAll y suchThat (x + y) + 1 = x + (y + 1)
   • tj.: pro všechny x a y, (x + y) + 1 = x + (y + 1)
5. a forall; x : x * 0 = 0
   • tj.: forAll x suchThat x * 0 = 0
   • tj.: pro všechny x, x * 0 = 0
6. a forall; x a forall; y : x * (y + 1) = x * y + x
   • tj.: forAll x forAll y suchThat x * (y + 1) = x * y + x
   • tj.: pro všechny x a y, x * (y + 1) = x * y + x
7. Toto schéma axióma sestává z nekonečně mnoho axiómů. Jestliže P(x) nějaká rovnice zahrnuje konstanty 0, 1, +, *, = a jedna volná proměnná x, pak sledování vzorce je axióm: ( P(0) a a; a forall; x : P(x) a rArr; P(x + 1)) a rArr; a forall; x : P(x)
   • tj.: ( P(0) a (forAll x suchThat ( P(x) implikuje P(x + 1)))) implikuje (forAll x suchThat P(x))
   • tj.: jestliže něco je pravdivé pro 0, a od jeho bytí pravdivý pro x to znamená, že to je také pravdivé pro x + 1, pak to je pravdivé pro všechny x (přerušení)

Axiómy 1, 2 a 7 jsou tradiční Peano axiómy axiómy chvíle 3-6 posloužit, že definuje sčítání a násobení. Jestliže jeden vynechá konstantu funkce * a axiómy 5 a 6 a dovolí ve schématu 7 jediných rovnic bez *, pak jeden dostane velmi zajímat Presburger aritmetiku.

---

Reference:

• Úvod k formální logice
• Metamath: projekt k matematice pojmu používat axiomatický systém založený na počtu propositional, predikátovém počtu a teorii množin\ n