Functor

V teorii kategorie, odvětví matematiky, functor je zvláštní druh mapování mezi kategoriemi. Functors může být myšlenka jako morphisms v kategorii malých kategorií.

Functors byl nejprve zvažován v algebraické topologii, kde algebraické objekty (jako základní skupina) jsou sdruženy k topological prostorům a algebraické homomorphisms jsou sdruženy k nepřetržitým mapám. V dnešní době, functors jsou používány skrz moderní matematiku líčit různé kategorie. Slovo “functor” byl si půjčoval matematiky od filozofa Carnap [Mac Lane, p. 30]. Carnap používal termín “functor” ke státu v vztahu k analogously funkcí jako stát predikátů v vztahu k vlastnostem. [vidí Carnap, logická syntax jazyka, p.13-14, 1937, Routledge a Kegan Paul.] pro Carnap pak, na rozdíl od moderní kategorie teorie je použití termínu, functor je lingvistická položka. Pro teoretiky kategorie, functor je zvláštní druh funkce.

Nepřehlédněte: Tato stránka obsahuje strojový překlad textu z anglické encyklopedie Wikipedia. Pokud budou některé pasáže špatně srozumitelné, zkuste se podívat i na text v originále, který najdete pod odkazem Functor. Překlad byl vytvořen pomocí překladače Eurotran.

Definice

Nechaný C a D být kategorie. Functor F od C k D je mapování to

kolegové ke každému namítají objekt, $X \in C$ $F(X) \in D$
kolegové ke každému morphism morphism $f:X\rightarrow Y \in C$ $F(f):F(X) \rightarrow F(Y) \in D$

takový to pokračování dvě podmínky platí:

$F (i d X) = i d F (X)$ pro každý objekt $X \in C$
pro všechny morphisms a $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$ $f:X \rightarrow Y$ $g:Y\rightarrow Z.$

To je, functors musí chránit morphisms identity a složení morphisms.

Functor od kategorie k sobě je nazýván endofunctor.

Covariance a contravariance

Tam je mnoho staveb v matematice, která byla by functors, ale pro skutečnost, že oni “obrátí morphisms” a “obrátí složení”. My pak definujeme contravariant functor F od C k D jako mapování to

kolegové ke každému namítají objekt $X \in C$ $F(X) \in D,$
kolegové ke každému morphism morphism takový to
- $F (i d X) = i d F (X)$ pro každý objekt $X \in C$ ,
- pro všechny morphisms a $F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$ $f:X\rightarrow Y$ $g:Y\rightarrow Z.$

Poznamenejte, že contravariant functors obrátí směr složení.

Obyčejné functors jsou také nazvané covariant functors aby rozlišoval je od contravariant. Poznamenat, že jeden může také definovat contravariant functor jak covariant functor na dvojí kategorie $C operace$ . Někteří autoři upřednostňují psát všechny výrazy covariantly. To je, místo toho, aby říkal $F: C\rightarrow D$ contravariant functor, oni prostě píší $F: C^{op} \rightarrow D$ (nebo někdy $F:C \rightarrow D^{op}$ ) a nazývat to functor.

Contravariant functors jsou také občas nazvané cofunctors.

Příklady

Functor konstanty: Functor C? D je jeden který mapuje každý objekt C k fixovanému objektu X v D a každé morphism v C k identitním morphism na X. takový functor je nazýván konstantou nebo výběrem functor.

Functor úhlopříčky: functor úhlopříčky je definován jako functor od D ke kategorii functor D^C který zašle každý objekt D k konstantě functor u toho namítají.

Functor limitu: Pro fixovaný kategorie indexu J, jestliže každé functor J?C má limit (například jestliže C je kompletní), pak limit functor C^J?C zadá každému functor jeho limit. Existence tohoto functor může být dokázaná tím, že si uvědomí, že to je pravý-adjoint k úhlopříčce functor a dovolávat se Freyd adjoint functor teorém. Toto vyžaduje vhodnou verzi axiom výběru. Podobné poznámky platí o colimit functor (který je covariant).

Elektrické soubory: Elektrický soubor functor P : Soubor? soubor mapuje každý soubor k jeho souboru síly a každou funkci k mapě, která posílá k jeho obrazu. Jeden může také zvažovat contravariant elektrický souborový functor, který posílá k mapě, která posílá k jeho vzoru. $f : X \to Y$ $U \subseteq X$ $f(U) \subseteq Y$ $f : X \to Y$ $V \subseteq Y$ $f^{-1}(V) \subseteq X$

Dvojí vektorový prostor: Mapa, která zadá každému prostoru vektoru jeho dvojí prostor a ke každé lineární mapě jeho dvojí nebo přemístit je contravariant functor od kategorie všech vektorové prostory přes fixované pole k sobě.

Základní skupina: Zvažovat kategorii špičatých topological prostorů, tj. topological prostory s význačnými body. Objekty jsou páry (X, x0), kde X je topological prostor a x0 je bod v X. morphism od (X, x0) k (Y, y0) je dán nepřetržitou mapou f : X? Y s f (x0) = y0.

Ke každému prostoru topological X s význačný bod x0, jeden může definovat základní skupinu založenou u x0, označil π1 (X, x0). Toto je skupina homotopy tříd smyček založených u x0. Jestliže f : X? Y morphism špičatých prostorů, pak každá smyčka v X se základním bodem x0 může být složen s f dát smyčku v Y se základem poukážou y0. Tato operace je slučitelná s homotopy vztah rovnocennosti a složení smyček, a my dostaneme homomorphism skupiny od? (X, x0) k? (Y, y0). My tak seženeme functor od kategorie špičatých topological prostorů ke kategorii skupin.

V kategorii prostorů topological (bez význačného bodu), jeden zvažuje homotopy třídy druhových křivek, ale oni nemohou být klidní ledaže oni rozdělí koncový bod. Tak jeden má základní groupoid místo základní skupiny a této stavby functorial.

Algebra spojitých funkcí: contravariant functor od kategorie prostorů topological (se spojitými mapami jak morphisms) ke kategorii skutečného asociativního algebras je dáván tím, že zadá každému prostoru topological X algebra C (X) všichni skutečný-cenil spojité funkce na tom prostoru. Každá nepřetržitá mapa f : X? Y přiměje homomorphism algebry C (f) : C (Y)? C (X) pravidlem C (f) (?) =? o f pro každý? v C (Y).

Tangenta a cotangent svazky: Mapa, která pošle každé differentiable různý k jeho svazku tangenty a každé hladké mapě k jeho derivátu je covariant functor od kategorie differentiable manifolds ke kategorii svazků vektoru. Podobně, mapa, která pošle každé differentiable různý k jeho cotangent svazku a každé hladké mapě k jeho pullback contravariant functor.

Dělat tyto pointwise staveb dá covariant a contravariant functors od kategorie špičatého differentiable manifolds ke kategorii skutečných vektorových prostorů.

Seskupit akce/reprezentace: Každý skupina G moci být považován za kategorii s jediným objektem jehož morphisms jsou elementy G. Functor od G k Soubor je pak nic ale skupinová akce G na zvláštní scéně, tj. G- soubor. Podobně, functor od G k kategorie vektorových prostorů, Vect_K, je lineární reprezentace G. Obecně, functor G ? C moci být považován za “akci” G na objektu v kategorii C. Jestliže C je skupina, pak tato akce je skupina homomorphism.

Algebras lži: Zadat každý skutečný (komplex) skupina lži jeho skutečný (komplex) algebra lži definuje functor.

Tensor produkty: Jestliže C označuje kategorii vektorových prostorů přes fixované pole, s lineárními mapami jak morphisms, pak tensor produkt definuje functor C × C? C který je covariant v obou argumentech. $V \otimes W$

Zapomnětlivé functors: Functor U : Grp ? Soubor které mapy skupina k jeho základovému souboru a homomorphism skupiny k jeho základové funkci souborů je functor. Functors má rádi tyto, který “zapomenout” nějaká struktura, být nazván zapomnětlivé functors. Další příklad je functor Rng ? Ab které mapy prsten k jeho základové přísadě abelian skupina. Morphisms v Rng (homomorphisms prstenu) se stát morphisms v Ab (abelian homomorphisms skupiny).

Volné functors: Jít v opačném směru zapomnětlivého functors jsou volné functors. Volné functor F : Soubor? Grp pošle každý soubor X k volné skupině vytvořený X. funkce jsou mapovány k homomorphisms skupiny mezi volnými skupinami. Volné stavby existují pro mnoho kategorií založených na uspořádaných souborech. Viďte volný objekt.

Homomorphism skupiny: Ke každému páru, B abelian skupin jeden může přiřadit abelian seskupit Homa (, B) sestávat ze všech homomorphisms skupiny od k B. toto je functor, který je contravariant v první a covariant ve druhém argumentu, tj. to je functor Abop × Ab? Ab (kde Ab označuje kategorii abelian skupin se skupinou homomorphisms). Jestliže f : A1? A2 a g : B1? B2 je morphisms v Ab, pak skupina homomorphism Homa (f, g) : Hom (A2, B1)? Hom (A1, B2) je dáván? g o? o f. vidět Hom functor. $\mapsto$

Representable functors: My můžeme zevšeobecnit předchozí příklad pro jakoukoliv kategorii C. To každý pár X, Y objektů v C jeden může zadat soubor Homovi (X, Y) morphisms od X k Y. toto definuje functor k souboru, který je contravariant v prvním argumentu a covariant ve vteřině, tj. to je policajt functor × C? soubor. Jestliže f : X1? X2 a g : Y1? Y2 je morphisms v C, pak skupina homomorphism Homa (f, g) : Hom (X2, Y1)? Hom (X1, Y2) je dáván? g o? o f. $\mapsto$

Functors má rádi tyto být nazýván functors representable. Důležitá branka v mnoha nastaveních má stanovit zda daný functor representable.

Presheaves: Jestliže X je prostor topological, pak otevřené soubory v X forma částečně spořádaný soubor Otevřený (X) pod zahrnutím. Jako každý částečně spořádaný soubor, otevřený (X) tvoří malou kategorii tím, že přidá jedinou šipku U ? V jestliže a jediný jestliže $U \subseteq V$ . Contravariant functors na Open (X) být volán presheaves na X. Například, tím, že zadá každému otevřenému souboru U asociativní algebra skutečný-cenil spojité funkce na U, jeden dostane presheaf algebras na X.

Vlastnosti

Dva důležité následky axiómů functor jsou:

F přemění každý komutativní diagram v C do komutativního diagramu v D;
jestliže f je izomorfismus v C, pak F (f) je izomorfismus v D.

Na jakékoliv kategorii C jeden může vymezit functor identity 1_C který mapuje každý objekt a morphism k sobě. Jeden může také skládat functors, tj. jestliže F je functor od k B a G je functor od B k C pak jeden může tvořit functor směsice GF od k C. Složení functors je asociativní kde definovaný. Toto ukáže, že functors může být považován za morphisms v kategoriích kategorií.

Malá kategorie s jediným objektem je stejná věc jako monoid: morphisms jeden-kategorie objektu může být myšlenka jako prvky monoid a složení v kategorii je myšlenka jako monoid operace. Functors mezi jedním-kategorie objektu odpovídají homomorphisms monoid. Tak v jistém smyslu, functors mezi libovolnými kategoriemi jsou druh zevšeobecňování homomorphisms monoid ke kategoriím se víc než jedním objektem.

Bifunctors a multifunctors

Bifunctor (také známý jako binární functor) je functor ve dvou argumentech. Hom functor je přirozený příklad; to je contravariant v jednom argumentu, covariant v jiný.

Formálně, bifunctor je functor jehož doména je kategorie produktu. Například, Hom functor je policajta typu × C? soubor.

Multifunctor je zevšeobecňování functor pojetí k n proměnné. Tak, například, bifunctor je multifunctor s n = 2.

Vztah k jiným kategorickým pojetím

Nechaný C a D být kategorie. Sbírka všech functors C? D tvořit předměty kategorie: functor kategorie. Morphisms v této kategorii jsou přirozené transformace mezi functors.

Functors je často definovaný univerzálními vlastnostmi; příklady jsou tensor produkt, nařídit součet a nařídit produkt skupin nebo vektorových prostorů, konstrukci volných skupin a moduly, přímé a nepřímé limity. Představy o limitu a colimit zevšeobecní několik nahoře.

Stavby univerzálie často dají svah párům adjoint functors.

Viz též

Druhy functors

Functor přísady: functor mezi kategoriemi jehož hom-soubory jsou skupiny abelian je přísada jestliže to je skupina homomorphism hom-soubory
Adjoint functors: functors F a G adjoint jestliže Hom (FX, Y)? Hom (X, GY), kde izomorfismus je přirozený v X a Y
Odvodil functor: představa o krátké exaktní postupnosti pod functor, který je jen polovina-přesný moci být rozšířil se do dlouhé exaktní postupnosti, předměty kterého jsou představy o odvozeném functor
Obohacené functor
Nezbytně surjective functor: functor každý předmět jehož codomain isomorphic k představě o objektu v doméně
Vynutit si functor: functor, který vezme krátké exaktní postupnosti ke krátkým exaktním postupnostem
Věrné functor: functor, který je injective na souboru morphisms s danou doménou a codomain
Plné functor: functor, který je surjective na souboru morphisms s danou doménou a codomain
Hladké functor: functor F od K-Vect k K-Vect takový to Hom (V,W)? Hom (FV,FW) je hladký. Příklady obsahují V*,?^kV,?^kV a jako.

Jiný

Odkazy

Kategorie portál teorie

S. Mac Lane. Kategorie pro pracovního matematika. Springer-Verlag: New York, 1971.