Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Gödel incompleteness teorém

V formální logice, Gödel incompleteness teorémy jsou dva oslavované teorémy dokázané Kurt Gödel v 1930. Poněkud zjednodušený, první státy teoréma:

V některém souhlasný axiomatický systém (formální systém matematiky) dostatečně silný dovolit jednoho dělat základní aritmetický, jeden může postavit prohlášení o přirozených číslech, která mohou být žádný ukázal se jako ani vyvrátil uvnitř toho systému.

V tomto kontextu, axiomatický systém je jeden se rekurzivním souborem axiómů; equivalently, teorémy systému mohou být vytvořeny Turing strojem. Sdělení, které nemůže být ukázalo se jako ani vyvrátilo v systému je dále pravdivý v pocitu, že co to tvrdí o přirozených číslech ve skutečnosti držení. Protože systém nedokáže se ukázat jako pravdivé sdělení, to je řekl, aby byl neúplný. Jinými slovy, pak, Gödel je nejprve incompleteness teorém říká, že některý dostatečně silný formální systém matematiky je jeden rozporuplný nebo neúplný.

Gödel je druhý incompleteness teorém, který je dokázaný tím, že formuje část důkazu první uvnitř systému sám, státy:

Některý dostatečně silný souhlasný systém nemůže se ukázat jako jeho vlastní hustota.

(Vidět dolů pro diskuzi o jakých “dostatečně silných” prostředkách v tomto kontextu.) toto končilo projekt přihlášení Hilbertův druhý problém, který prosazoval výzvu dokazovat, že matematika mohla být zredukovaná na souhlasný soubor axiómů od kterého všechny matematické pravdy mohly být odvozeny -- Gödel dokázal, že to tam může být žádný takový soubor. Viďte Hilbertovy problémy pro pozadí.

Tabulka s obsahem
1 příklady sdělení undecidable
2 diskuze a implikace
3 náčrtek důkazu pro první teorém
4 náčrtek důkazu pro druhý teorém
5 vidět také
6 externí odkazy a odkazy

Příklady sdělení undecidable

Následující spojená práce Gödel a Paul Cohen má dané konkrétní příklady sdělení undecidable (sdělení, která mohou být žádný dokázaný ani vyvrácený): jak axiom výběru tak hypotéza kontinua undecidable ve standardním axiomatization teorie množin. Tyto výsledky nevyžadují incompleteness teorém.

V 1973, Whitehead problém v teorii skupiny byl ukazován být undecidable ve standardní teorii množin. V 1977, Kirby, Paříž a Harrington se ukázal jako to sdělení v combinatorics, verze Ramsey teoréma, je undecidable v axiomatization aritmetiky dané Peano axiómy ale moci být dokázaný být pravdivý ve větším systému teorie množin. Kruskal je teorém stromu, který má použití ve vědě o počítačích, je také undecidable od Peano axiómů ale provable v teorii množin. Goodstein teorém je relativně jednoduché prohlášení o přirozených číslech to je undecidable v Peano aritmetice.

Gregory Chaitin produkoval undecidable sdělení v algoritmické informační teorii a ve skutečnosti dokázal jeho vlastní incompleteness větu v tom nastavení.

Diskuze a implikace

Incompleteness výsledky ovlivní filozofii matematiky, zvláště hlediska jako formalizmus, který použije formální logiku vymezit jeho zásady. Jeden může parafrázovat první teorém jako pověst, že “my můžeme nikdy objevit všichni zahrnovat axiomatický systém, který je schopný se ukázat jako všichni matematické pravdy, ale žádné klamy.”
Pokračování přeformulovat sekundy teorém je dokonce více znepokojující k založením matematiky:

Jestliže axiomatický systém může být dokázaný být shodný od uvnitř sebe, pak to je rozporuplné.

Proto, aby založil důslednost systému S, jeden potřebuje využívat nějaký jiný systém T, ale důkaz v T kompletně nepřesvědčí ledaže T hustota už byla ustavená bez používání S. důslednost Peano axiómů pro přirozená čísla pro příklad může být dokázaný v teorii množin, ale ne v teorii přirozených čísel osamocený. Toto poskytuje zápornou odpověď k číslu problému 2 na Davidovi Hilbertovi' s slavný seznam důležitých otevřených otázek v matematice.

V principu, Gödel teorémy ještě opustí nějakou naději: to by mohlo být možné produkovat generála algoritmus to pro dané sdělení určuje zda to je undecidable nebo ne, tak dovolit matematikům obejít sdělení undecidable dohromady. Nicméně, záporná odpověď k Entscheidungsproblem přehlídkám že žádný takový algoritmus existuje.

Poznamenat, že Gödel teorémy jen platí o dostatečně silný axiomatické systémy. “dostatečně silné” prostředky že teorie obsahuje dost aritmetiky uskutečnit kódovací stavby potřebované pro korekturu prvního incompleteness teoréma. V podstatě, celá ta je vyžadován jsou některé základní fakty o sčítání a násobení jak formovaný, např., v aritmetice Robinsona Q. tam být dokonce slabší axiomatické systémy, které jsou souhlasné a kompletní, například Presburger aritmetika který ukáže se každý pravdivý nejprve-provozní odpočet, který jen zahrnuje sčítání.

Axiomatický systém může sestávat z nekonečně mnoho axiómů (jak nejprve-objednávat Peano aritmetické laně), až na Gödel teorém platit, tam musí být efektivní algoritmus, který je schopný kontrolovat důkazy pro správnost. Například, jeden by mohl vzít soubor všech nejprve-objednávat věty, které jsou pravdivé ve standardním modelu přirozených čísel. Tento systém je kompletní; Gödel teorém neplatí, protože není tam žádná efektivní procedura, která se rozhodne jestliže vynesené rozsudky je axióm. Ve skutečnosti, že toto je tak je důsledek Gödel je první incompleteness teorém.

Další příklad specifikace teorie ke kterému Gödel je nejprve teorém neplatí moci být budován takto: objednávat všechna možná prohlášení o přirozených číslech nejprve délkou a pak lexicographically, začínat axiomatickým systémem zpočátku rovný Peano axiómům, procházet vaším seznamem sdělení jeden jeden, a, jestliže aktuální sdělení nemůže být dokázané ani vyvrácený od aktuálního axiómového systému, přidat to k tomu systému. Toto vytvoří systém, který je kompletní, shodný, a dostatečně silný, ale ne rekurzívně enumerable.

Gödel sám jen dokázal technicky lehce slabší verze nad teorémy; první důkaz pro verze říkal nahoře byl dán Rosserem v 1936.

V podstatě, důkaz prvního teoréma sestává z budovat sdělení

p = “toto sdělení nemůže být dokázané”

uvnitř formálního axiomatického systému. Jako takový, to může být viděno jako moderní varianta Paradoxu lháře.

Jestliže axiomatický systém je shodný, Gödel důkaz ukazuje to p (a jeho negace) moci ne být dokázaný v systému. Proto p je pravdivý (p prohlašuje, že není provable, a to není) přesto to nemůže být formálně dokázané v systému. Si všimnout toho připočítání p k axiómům systému by nevyřešil problém: tam by byl jiný Gödel věta pro zvětšenou teorii.

Roger Penrose prohlašuje to tento (údajný) rozdíl mezi “co může být mechanicky dokázané” a “co může být viděno být pravdivý lidmi” ukáže, že lidská inteligence není mechanická v přírodě. Tento pohled není široce přijímaný, protože jak řečený Marvin Minsky, lidská inteligence je schopná chyby a rozumějících sdělení, která jsou ve skutečnosti rozporuplný nebo nepravdivý. Nicméně, Marvin Minsky hlásil, že Kurt Gödel řekl jemu osobně že on věřil, že lidé měli intuitivní, ne jen výpočetní, způsob, jak přijít k pravdě a že proto jeho teorém nevymezil co může být známé být pravdivý lidmi.

Postoj, že teorém ukáže lidi, že má schopnost, která přesahuje formální logiku může také být kritizována takto: My nevíme to zda věta p je pravdivý nebo ne, protože my děláme ne (a moci ne) vědět to zda systém je shodný. Tak ve skutečnosti my neznáme nějakou pravdu venku systému. Všichni my víme to je následné prohlášení:

Jeden p je unprovable uvnitř systému nebo systému je rozporuplný.

Toto sdělení je snadno dokázané uvnitř systému. Ve skutečnosti, takový důkaz bude nyní být daný.

Náčrtek důkazu pro první teorém

Hlavní problém v zhmotňovat nahoře se zmínil o důkazu nápad je sledování: aby budoval sdělení p to je ekvivalent k”p moci ne být dokázaný”, p by musel nějak obsahovat odkaz k p, který mohl snadno skončit nekonečný navrátit se. Gödel je vynalézavý trik, který byl později použitý Alan Turing platit Entscheidungsproblem, bude být popisován dole.

To začne, každá rovnice nebo sdělení, které může jsou vytvořeni v našem systému dostane jedinečné číslo, nazvaný jeho Gödel číslo. Toto je odděláno takový cesta že to je snadné k mechanicky přeměnit záda a dále mezi rovnicemi a Gödel čísla. Protože náš systém je silný dost k důvodu o číslech, to je nyní také možné k důvodu o rovnicích.

Rovnice F(x) to obsahuje přesně jedna volná proměnná x je nazýván formou sdělení. Jak brzy jak x je nahrazený specifickým číslem, forma sdělení se změní na bona fide sdělení a to pak je jeden provable v systému, nebo ne. Sdělení se tvoří sám nejsou sdělení a proto moci ne být ukázal se jako nebo vyvrátil. Ale každá forma sdělení F(x) má Gödel počítat kterého my označíme G(F). Volba volné proměnné používané ve formě F(x) je nevýznamný pro domácí cvičení Gödel číslo G(F).

Tím, že opatrně analyzuje axiómy a pravidla systému, jeden může pak napsat formu sdělení P(x) který ztělesní názor, že x je Gödel množství sdělení který může být dokázaný v našem systému. Formálně: P(x) moci být dokázaný jestliže x je Gödel množství provable sdělení a jeho negace ~ P(x) moci být dokázaný jestliže to není. (zatímco toto je dobré dost pro tento náčrtek důkazu, to je technicky ne kompletně přesný. Přečtěte Gödel noviny pro problém a Rosserův referát do rozhodnutí. Klíčové slovo zní “omega-hustota”.)

Teď přijde trik: forma sdělení F(x) je volán self-unprovable jestliže forma F, platil o jeho vlastní Gödel číslo, provable. Toto pojetí může být definováno formálně a my můžeme sestrojit sdělení tvořit Sua(z) jehož výklad je to z je Gödel číslo self-unprovable formu sdělení. Formálně, Su(z) je definován jak: z = G(F) pro nějakou určitou formu F(x), a y je Gödel množství sdělení F(G(F)), a ~ P(y). Nyní požadované sdělení p to bylo zmíněno nahoře moci být definován jak:

p = Su(G(Su)).

Intuitivně, když se zeptá zda p je pravdivý, my se zeptáme: “je vlastnost bytí self-unprovable sebe self-unprovable?” toto je velmi připomínající Barber paradox o holiči, který se holí přesně ti lidé, kteří se neholí: on se holí?

My budeme nyní předpokládat, že náš axiomatický systém je shodný.

Jestliže p provable, pak Su(G(Su)) by byl pravdivý, a definicí Sua, z = G(Su) by byl Gödel číslo self-unprovable formu sdělení. Proto Su by byl self-unprovable, který samozřejmě self-unprovable znamená to Su(G(Su)) provable, ale toto bylo naše p: p provable. Tento rozpor ukazuje to p moci ne být provable.

Jestliže negace p= Su(G(Su)) provable, pak definicí Sua toto by znamenalo to z = G(Su) není Gödel číslo self-unprovable se tvoří, který znamená, že Su není self-unprovable. Samozřejmě self-unprovable, my uzavřeme, že Su(G(Su)) provable, proto p provable. Znovu rozpor. Toto jeden ukazuje to negace p moci ne být provable jeden.

Tak sdělení p může žádný být ukázal se jako ani vyvrátil uvnitř našeho systému.

Náčrtek důkazu pro druhý teorém

Nechaný p stát pro undecidable větu postavil nahoře, a nechal nás předpokládat, že důslednost systému může být dokázaná od uvnitř systému sám. My jsme viděli nad tím jestliže systém je shodný, pak p provable. Důkaz této implikace může být formován v systému sám, a proto sdělení”p provable”, nebo “ne P(p)” moci být dokázaný v systému.

Ale toto poslední sdělení je ekvivalent k p sám (a tato rovnocennost může být dokázaná v systému), tak p moci být dokázaný v systému. Tento rozpor ukáže, že systém musí být rozporuplný.

Viz též

Vnější spojení a odkazy