Seskupit (matematiku)
V matematice, skupina je soubor, spolu s binární operací uspokojující jisté axiómy, detailní dole. Odvětví matematiky, která studuje skupiny je nazýváno teorií skupiny.Historický vznik teorie skupiny se vrátí k pracem Evariste Galois (1830), týkat se problému když algebraická rovnice je rozpustná radikály.
Velký mnoho z objektů vyšetřovaných v matematice dopadat být skupiny, včetně známých číselných systémů, takový jako celá čísla, rozumný, skutečný, a komplexní čísla pod sčítáním, non-nula rozumný, skutečný, a komplexní čísla pod násobením, non-pozoruhodné matricies pod násobením, invertable funguje pod složením, a tak dále. Teorie skupiny počítá s vlastnostmi těchto systémů a mnoho jiní být vyšetřován ve více obecném nastavení a jeho výsledkách být široce použitelný. Teorie skupiny je také bohatý zdroj teorémů v jeho vlastní pravý. Seskupí underlie jiné algebraické struktury takový jako fieldss a vektorové prostory a být také důležité nástroje pro studovat symetrii ve všech jeho formy. Pro tyto důvody, teorie skupiny je považována za důležitou oblast v moderní matematice, a má mnohé žádosti k matematické fyzice (například, v teorii částečky)
Viďte Teorii skupiny.
Skupina (G, *) je definován jako soubor G spolu s binární operací *: G × G a rarr; G. My píšeme” * b” pro výsledek nanášení operace * ke dvěma elementům a b G. Mít skupinu, * muset uspokojit pokračování axiómy:
- Associativity: Pro všechny , b a c v G, ( * b) * c = * (b * c).
- Element identity: Tam je element e v G takový to pro všechny v G, e * = = * e.
- Inverzní element: Pro všechny v G, tam je element b v G takový to * b = e = b * , kde e je identita element od předchozího axióma.
- Uzavření: Pro všechny a b v G, * b patří k G.
To by mělo být poznamenal, že není tam žádný požadavek ve skupině to * b = b * (commutativity). Skupina ve kterém tato rovnice drží pro všechny a b v G, je volán abelian (po mathematican Nielse Abela). Skupiny postrádat tuto vlastnost být volán non-abelian.
objednávka skupiny G, označil |G| nebo o (G), je množství elementů souboru G. Skupina je volána konečný jestliže to finitely mnoho elementů, to je jestliže soubor G je konečná množina.
Poznamenat, že my často odkazujeme se na skupinu (G, *) jak jednoduše”G”, opouštět operaci * unmentioned. Ale být perfektně přesné, různé operace na stejné scéně definují různé skupiny.
Obvykle operace, kterákoliv to opravdu je, je myšlenka jako obdoba násobenía skupina operace jsou proto psané multiplicatively. To je:
- My píšeme” · b” nebo dokonce”b” pro * b a nazývat to produktem a b;
- My píšeme “1” pro element identity a nazývat to elementem jednotky;
- My píšeme”a bez; 1#rquote pro nepřímou úměrnost a volat to podobný .
- My píšeme” + b” pro * b a nazývat to součtem a b;
- My píšeme “0” pro element identity a nazývat to elementem nuly;
- My píšeme “a bez;” pro nepřímou úměrnost a nazývat to opakem .
Když bytí noncommital, jeden může používat notaci (s “*”) a terminologie to bylo představeno v definici, používat notaci a bez; 1 pro nepřímou úměrnost .
Jestliže S je podmnožina G, a x element G pak v multiplikativní notaci, xS je soubor všech produktů {xs} pro s v S; podobně notace Sx = {sx : s v S}; a pro dva podmnožiny S a T G, my píšeme ST pro {st : pro všechny s v S, t v T}. V zápisu přísady, my píšeme x + S, S + x, a S + T pro příslušné soubory.
Některé základní příklady a nonexamples
An abelian skupinu: celá čísla pod sčítáním
Skupina že my jsme představeni k v základní škola je celá čísla pod sčítáním. Pro tento příklad, nechaný Z být soubor celých čísel, {..., a bez; 4, a bez; 3, a bez; 2, a bez; 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}, a nechal symbol “+” ukázat operaci sčítání. Pak (Z, +) je skupina (psané additively).
Důkaz:
- Jestliže a b jsou celá čísla pak + b je celé číslo. (uzavření; + opravdu je binární operace)
- Jestliže , b, a c být celá čísla, pak ( + b) + c = + (b + c). (Associativity)
- 0 je celé číslo a pro nějaké celé číslo , 0 + = = + 0. (element identity)
- Jestliže je celé číslo, pak je celé číslo b : = a bez;, takový to + b = 0 = b + . (inverzní element)
Celá čísla se jak sčítáním tak násobením spolu tvoří více komplikovanou algebraickou strukturu prstenu. Ve skutečnosti, prvky nějakého prstenu sestaví abelian skupinu pod sčítáním, volal skupinu přísady prstenu.
Ne skupina: celá čísla pod násobením
Na druhé straně, jestliže my zvažujeme operaci násobení, označil “·”, pak (Z, ·) je ne skupina:
- Jestliže a b jsou celá čísla pak · b je celé číslo. (uzavření; · opravdu je binární operace)
- Jestliže , b, a c být celá čísla, pak ( · b) · c = · (b · c). (Associativity)
- 1 je celé číslo a pro nějaké celé číslo , 1 · = = · 1. (element identity)
- Ale, jestliže je celé číslo, tam není nutně celé číslo b takový to · b = 1 = b · . Tam smět být racionální číslo b jako to, ale ne celé číslo. (inverzní element propadne)
An abelian skupinu: nonzero racionální čísla pod násobením
Zvažovat soubor racionálních čísel Q, to je soubor čísel /b takový to a b být celá čísla a b je nonzero a násobení operace, označil “·”. Od racionálního čísla 0 nemá multiplikativní inverzní, (Q, ·), jako (Z, ·), je ne skupina.
Nicméně, jestliže my místo toho používat soubor Q \ \ {0} místo toho Q, to je zahrnovat každé racionální číslo kromě nula, pak (Q \ \ {0}, ·) laně sestaví abelian skupinu (psané multiplicatively). Nepřímá úměrnost /b je b/, a jiné skupinové axiómy jdou snadno zkontrolovat to. My neztratíme uzavření nulou sejmutí, protože produkt dvou nonzero rationals je nikdy nula.
Jen jako forma celých čísel prsten tak racionální čísla tvoří algebraickou strukturu pole. Ve skutečnosti, nonzero prvky nějakého daného pole tvoří skupinu pod násobením, volal multiplikativní skupinu pole.
Konečná nonabelian skupina: obměny souboru
Pro více abstraktní příklad, zvažovat tři barevné bloky (červený, zelený, a modrý), zpočátku se umístil v pořádku RGB. Nechaný být akce “vyměnit první blok a druhý blok”, a nechaný b být akce “vyměnit druhý blok a třetí blok”.
V multiplikativní formě, my tradičně píšeme xy pro spojené akci “nejprve dělat y, pak dělat x”; tak to b je akce RGB a rarr; RBG a rarr; BRG, tj., “vzít poslední blok a přesunout to na přední stranu”. Jestliže my píšeme e pro “opustit bloky jak oni jsou” (akce identity), pak my můžeme psát šest obměny souboru tří bloků jako sledování dějů:
- e : RGB a rarr; RGB
- : RGB a rarr; GRB
- b : RGB a rarr; RBG
- b : RGB a rarr; BRG
- b : RGB a rarr; GBR
- b : RGB a rarr; BGR
- bb = e,
- (b) (b) = e, a
- (b) (b) = (b) (b) = e;
Vyšetřením, my můžeme také určovat associativity a uzavření; poznámka například to
- (b) = (ba) = b, a
- (b)b = b(b) = b.
Každá skupina může být vyjádřena v podmínkách skupin obměny jako S3; tento výsledek je Cayley teorém a je studovaný jako součást předmětu skupinových akcí.
Pro některé další příklady skupin od palety aplikací, viďte Příklady skupin a Seznam malých skupin.
- Skupina má přesně jedna identita element.
- Každý element má přesně jeden inverzní.
- Vy můžete vykonávat divizi ve skupinách; to je, dané elementy a b skupiny G, tam je přesně jedno řešení x v G k rovnici x * = b a přesně jedno řešení y v G k rovnici * y = b.
- Výraz”1 * 2 * · · · * n#rquote je jednoznačný, protože výsledek bude stejný bez ohledu na to kde my se umístíme parentheses.
- Nepřímá úměrnost produktu je produkt inverses v protějším pořádku: ( * b)a bez; 1 = ba bez; 1 * a bez; 1.
Budovat nové skupiny od daných
- Jestliže podmnožina H skupiny (G, *) spolu s operací * omezený na H je sám skupina, pak to je nazýváno podskupinou (G, *).
- přímý součet dvou skupin (G, *) a (H,?) je soubor G×H spolu s operací (g1,h1) (g2,h2) = (g1*g2,h1?h2).
- Daný skupina G a normální podskupina N, skupina kvocientu je soubor cosets G/N spolu s operací (gN) (hN) =ghN.
Příbuzná témata
Viďte Glosář teorie skupiny pro více definic v teorii skupiny.
Viďte základní skupinovou teorii pro seznam základních teorémů v teorii skupiny.
Viďte Seznam skupinových teoretických témat pro seznam všech skupinových teoretických témat pokrytých v Wikipedia.