Reprezentace skupiny
Ve studiu matematický skupiny, reprezentace skupiny je “popis” skupiny jako konkrétní skupina transformací (nebo automorphism skupina) nějakého matematického objektu. Více formálně, “popis” znamená, že tam je homomorphism od skupiny k nějaké skupině automorphism. věrná reprezentace je jedna ze kterého tento homomorphism injective.
Někteří lidé používají realizaci pro tento pojem a rezervu termín reprezentace pro co dole být nazýván lineárními reprezentacemi.
Teorie reprezentace se rozdělí na subtheories se spoléhat na druh skupiny být reprezentován. Různé teorie jsou docela odlišné v detailu, ačkoli některé základní definice a pojetí jsou podobní. Nejvíce důležité divize jsou:
Konečné skupiny: reprezentace skupiny jsou velmi důležitý nástroj ve studii o konečných skupinách. Oni také vyvstávají v žádostech konečné skupinové teorie crystallography a ke geometrii. Zvláštní případ kde reprezentace je u konce pole charakteristiky p a p rozdělí pořadí skupiny, nazvaný modulární teorie reprezentace, má velmi odlišné vlastnosti (vidět dolů).
Kompaktní nebo místně kompaktní topological se seskupí: mnoho z výsledků konečné skupiny teorie reprezentace být dokázaný tím, že dává průměrně přes skupinu. Tyto důkazy mohou přenést se do nekonečných skupin jestliže průměr je nahrazen základní, které jediné práce jestliže přijatelný pojem základní moci být definován. Toto může být děláno pro místně kompaktní skupiny, používat Haar míru. Výsledná teorie je střední součást harmonické analýzy. Pontryagin dualita popisuje teorii pro komutativní skupiny, jak celkový Fourier převádí.
Skupiny lži: Mnoho důležitých lživých skupin je kompaktní, tak výsledky kompaktní reprezentace teorie platit o nich. Jiné techniky typické pro skupiny lži jsou používány také. Většina ze skupin důležitý v fyzika a chemie jsou skupiny lži a teorie reprezentace je rozhodující pro aplikaci teorie skupiny v těch polích. Viďte Reprezentace skupin lži a algebras.
Non-kompaktní topological skupiny: Třída non-kompaktní skupiny je příliš široký k pojmu nějaká teorie generálního zastoupení ale specifické zvláštní případy byli studovaní, někdy inzerát používání hoc techniky. semisimple lživé skupiny mají hlubokou teorii, stavět na kompaktním případě. Doplňkový rozpustitelný skupiny lži nemohou stejně být klasifikovaný. Obecná teorie pro skupiny lži se zabývá semidirect produkty dvou typů, prostředky ke generálovi výsledky volaly Mackey teorii, který je zevšeobecňování Wigner klasifikačních metod.
Uvnitř daného druhu teorie reprezentace, výsledky se liší se spoléhat na druh automorphism skupiny, která je zaměřena. Jeden cíl je skupiny obměny. Ale nejvíce důležité cíle jsou skupiny matrices přes nějaké pole, nebo, více obecně, skupiny invertible lineárních transformací vektorového prostoru.
Nejdůležitější případ je pole komplexních čísel (to je, reprezentace jsou homomorphisms ke skupině komplexních matrices nebo invertible lineární transformace komplexního vektorového prostoru). Jestliže vektorový prostor je konečný rozměrný, pak reprezentace jsou řekl, aby byl konečný rozměrný také. (nekonečné rozměrné reprezentace jsou docela možné; vektorový prostor mohl být nekonečný rozměrný Hilbert prostor, například.)
Jiné důležité případy jsou pole reálných čísel, konečných polí a polí p-adic čísla. Reprezentace v konečném polním případě jsou volány modulární. Tady charakteristika pole je docela významný; mnoho teorémů závisí na pořadí skupiny ne rozdělovat charakteristiku pole.
| Tabulka s obsahem |
| 1 ustálená teoretická reprezentace 2 lineární reprezentace |
Ustálená teoretická reprezentace
soubor S je řekl, aby byl soubor-teoretický reprezentace skupiny G jestliže tam je funkcea rho; od G k SS, soubor funkcí od S k S takový to
.
Equivalently, reprezentace je homomorphism skupiny od G k skupině obměny S.
Viďte Skupinovou akci.
Lineární reprezentace je zvláštní případ reprezentace souboru s další strukturou.
V abstraktní algebře, reprezentace konečný skupina G je homomorphism skupiny od G k obecné lineární skupině GL (n,C) invertible komplex n- -n matrices. Studie o takových reprezentacích je nazývána teorií reprezentace.
Teorie reprezentace je důležitá protože to umožní redukci některých skupinových teoretických problémů k lineární algebře, který má velmi dobře-rozuměla teorie.
Tam je obdoba této teorie pro mnoho důležitých druhů nekonečných skupin; vidět Reprezentace skupin lži a algebras a Peter-Weyl teorém pro kompaktní topological skupiny.
Reprezentace projective transformacemi (viz projective reprezentace) moci být popisován jak lineární reprezentace až do skalárních matrices. Tyto reprezentace nastanou přirozeně, také.
My jsme mohli také mít affine reprezentace. Například, Euclidean skupina hraje affinely na Euclidean prostoru.
Zvažovat komplexní číslo u = exp (2 a pi;i/ 3) který má vlastnost u3 = 1. cyklická skupina C3 = {1, u, u2} má reprezentaci a rho; daný:
Tato reprezentace je řekl, aby byl věrný, protože a rho; je osobní mapa.
Dva reprezentace a rho;1 a a rho;2 být řekl, aby byl ekvivalent jestliže matrices jen se liší o změnu základu, tj. jestliže tam existuje v GL (n,C) takový to pro všechny x v G: a rho;1(x) = a rho;2(x)-1. Například, reprezentace C3 daný matrices:
Každý čtverec n- -n matice popisuje lineární mapu od n- rozměrný vektorový prostor V k sobě (jakmile základ pro V byl vybrán). Proto, každá reprezentace a rho;: G -> GLn definuje skupinovou akci na V daný g.v = (a rho; (g)) (v) (pro g v G, v v V). Jeden může ve skutečnosti vymezit reprezentace skupiny jako akce té skupiny na nějakém vektorovém prostoru, proto se vyhýbat potřebě si vybrat základ a omezení k konečný-rozměrné vektorové prostory.
Jestliže V má non-triviální pořádné subspace W takový to W je obsahován v V, pak reprezentace je řekl, aby byl reducible. Reducible reprezentace může být vyjádřena jako přímý součet subrepresentations (Maschke teorém) (jediný pro konečné skupiny být reducible reprezentace nutně decomposable!).
Jestliže V má žádný takový subspaces, to je řekl, aby byl nesnížitelná reprezentace.
V příkladě nahoře, reprezentace daný je reducible do dva 1-rozměrné subrepresentations (daný rozpětím {( 1, 0 )} a se točil {( 0, 1 )}). Teorie charakteru
charakter reprezentace a rho;: G -> GLn je funkce a chi;: G -> C který posílá g v G k stopě (suma elementů úhlopříčky) matice a rho; (g). Například, charakter reprezentace daný nahoře je daný: a chi; (1) = 2, a chi; (u) = 1 + u, a chi; (u2) = 1 + u2.
Jestliže g a h jsou členové G v stejný conjugacy prvotřídní, pak a chi; (g) = a chi; (h) pro nějaký charakter; hodnoty charakteru proto musí být specifikován jen pro různé conjugacy třídy G. Navíc, reprezentace ekvivalentu mají stejné povahy. Jestliže reprezentace je přímá suma subrepresentations, pak korespondenční charakter je suma charakterů subrepresentations.
Charaktery všech ireducibilních zobrazení konečné skupiny tvoří stůl charakteru, s conjugacy třídami elementů jako sloupce a charaktery jako řádky. Tady je stůl charakteru C3:
(1) (u) (u2) 1 1 1 1 a chi;1 1 u u2 a chi;2 1 u2 uStůl charakteru je vždy čtverec a řádky a sloupce jsou orthogonal s úctou ke standardu skalární součin na Cm, který dovolí jednoho počítat stoly charakteru více snadno. První řada stolu charakteru vždy sestává z 1s, a odpovídá triviální reprezentaci (1-rozměrná reprezentace sestávat z 1-- 1 matrices obsahovat záznam 1).
Jisté vlastnosti skupiny G moci být odvozen od jeho stolu charakteru:
- Objednávka G je dán součtem (a chi; (1 ))2 přes charaktery v tabulce.
- G abelian jestliže a jediný jestliže a chi; (1) = 1 pro všechny charaktery v tabulce.
- G má non-triviální normální podskupina (tj. G je ne jednoduchá skupina) jestliže a jediný jestliže a chi; (1) = a chi; (g) pro některé non-triviální charakter a chi; ve stolu a některých non-element identity g v G.