Hahn-Banach teorém
Hahn-Banach teorém je centrální nástroj v funkční analýze; to přehlídky, které tam jsou “dost” spojité lineární functionals definované na každém normed vektorovém prostoru dělat studium z dvojího prostoru zajímavý.Nejvíce obecná formulace teoréma potřebuje některé přípravy. Jestliže V je vektorový prostor přes skalární pole K (jeden reálná čísla R nebo komplexní čísla C), my voláme funkci N : V -> R sublinear jestliže N(sekyra + ) a le; || N(x) + | b | N(y) pro všechny x a y v V a celý scalars a b v K. Každá norma na V sublinear, ale tam být jiné příklady.
Hahn-Banach teorém řekne to:
- Nechaný N : V -> R být sublinear, nechaný U být subspace V a nechal a phi;: U -> K být lineární funkční takový to | a phi; (x) | a le; N(x) pro všechny x v U. Pak tam existuje lineární mapa a psi;: V -> K který se prodlužuje a phi; (mínit a psi; (x) = a phi; (x) pro všechny x v U) a který je ovládán N na všech V (mínit | a psi; (x) | a le; N(x) pro všechny x v V).
Několik důležitých následků teoréma je také někdy nazvané “Hahn-Banach teorém”:
- Jestliže V je normed vektorový prostor s subspace U (ne nutně se zavřel) a jestliže a phi;: U -> K je spojitý a lineární, pak tam existuje rozšíření a psi;: V -> K a phi; který je také spojitý a lineární a který má stejnou normu jak a phi; (vidět Banach prostor pro diskuzi o standardu lineární mapy).
- Jestliže V je normed vektorový prostor s subspace U (ne nutně se zavřel) a jestliže z je element V ne v uzavření U, pak tam existuje nepřetržitá lineární mapa a psi;: V -> K s a psi; (x) = 0 pro všechny x v U, a psi; (z) = 1, a | | a psi; | | = | |z| |-1.
Lawrence Narici a Edward Beckenstein, ' Hahn-Banach teorém: Život a časy , Topologie a jeho aplikace, hlasitost 77, záležitost 2 (3 červen 1997) 193 stran-211. An online preprint je dostupný tady