Hamiltonian (kvantová mechanika)

Hamiltonian, označil H, má dva zřetelný ale blízko příbuzné významy. V klasické mechanice, to je funkce, která popisuje stav mechanického systému v podmínkách pozice a hybné proměnné (tj. symplectic proměnné), který je východisko pro re-formulace klasické mechaniky známé jako Hamiltonian mechanici. V kvantové mechanice, Hamiltonian odkazuje se na pozorovatelný odpovídající úhrnu energie systému. Klasický Hamiltonian je popisován v článku o Hamiltonian mechanice. Tento článek diskutuje o Hamiltonian operátorovi v kvantové mechanice.

Tabulka s obsahem

1 quantum Hamiltonian 2 energetický Eigenket úpadek, symetrie, a práva ochrany 3 hamiltonské rovnice

Quantum Hamiltonian

Jak vysvětlil to v článku matematické vyjadřování kvantové mechaniky, fyzický stav systému může být charakterizován jako vektor v oddělit Hilbert prostora fyzicky pozorovatelné kvantity jako Hermitian operátoři jednat podle těchto vektorů.

Quantum Hamiltonian H je pozorovatelný odpovídající energii úhrnu systému. Eigenkets (eigenvectors) H, označil {| a zvonil;}, poskytovat orthonormal základ pro Hilbert prostor. spektrum povolených energetických stavů systému je dán souborem eigenvalues, označil {E_a}:

.

Protože H je Hermitian operátor, energie je vždy reálné číslo.

Se spoléhat na Hilbert dobu systému, spektrum energie může být jeden jednotlivý nebo spojitý. Ve skutečnosti, jisté systémy mají nepřetržité energetické spektrum v jednom rozsahu energií a jednotlivé škále v dalším dosahu. Příklad takový systém je konečný potenciál dobře, který připustí spojené státy s jednotlivými negativními energiemi a svobodné státy se spojitými pozitivními energiemi.

Hamiltonian tvoří časovou evoluci kvantových stavů. Jestliže | a psi; (t) a zvonil; je stav systému v době t, pak

.

kde? je Dirac konstanta. Tato rovnice je znána jak Schrödinger rovnice. (to vyžaduje stejnou formu jako Hamilton-Jacobi rovnice, který je jeden z důvodů H je také nazýván Hamiltonian.) daný stát v nějaké počáteční době (t = 0), my můžeme integrovat to dostat stát v nějaké následující době. Zvláště, jestliže H je nezávislý na čase, pak

.

kde exponenciální operátor na straně pravé ruky je definován obvyklý série. Toto může být ukazováno být nečleněný operátor, a je obyčejná forma časového evolučního operátora (také volal propagátora).

Energetický Eigenket úpadek, symetrie a práva ochrany

V mnoha systémech, dva nebo více eigenstates energie má stejnou energii. Jednoduchý příklad tohoto je volná částečka, jehož eigenstates energie mají wavefunctions, které propagují rovinné vlny. Energie každý těchto rovinných vln je nepřímo úměrný čtverci jeho vlnové délky. Vlna množit v x směr různý stát od jednoho množí v y směr, ale jestliže oni mají stejný vlnová délka pak jejich energie budou stejní. Když toto se stane, státy jsou řekl, aby byl zvrhlík.

To dopadá že úpadek nastane kdykoli nontrivial nečleněný operátor U dojíždí s Hamiltonian. Vidět toto, předpokládat, že | a zvonil; je energie eigenket. Pak U| a zvonil; je eigenket energie se stejnými eigenvalue, protože

Protože U nontrivial, přinejmenším jeden pár | a zvonil; a U| a zvonil; muset zastupovat zřetelné státy. Proto, H má přinejmenším jeden pár energie zvrhlíka eigenkets. V případě volné částečky, nečleněný operátor, který produkuje symetrii je operátor rotace, který točí wavefuntions nějakým úhlem zatímco jinak uchová jejich tvar.

Existence operátora symetrie implikuje existenci šetřil pozorovatelný. Nechaný G být Hermitian generátor U:

To je přímé ukazovat to jestliže U dojíždí s H, pak tak dělá G:

Proto,

V získání tohoto výsledku, my jsme používali Schrödinger rovnice, také jak jeho dvojí,

.

Tak, finanční efekt pozorovatelný G je udržován pro nějaký stav systému. V případě volné částečky, udržovaná kvantita je moment hybnosti.

Hamiltonovy rovnice

Hamiltonovy rovnice v klasický Hamiltonian mechanici mají přímou analogii v kvantové mechanice. Předpokládat, že my máme soubor států základu {|na zvonil;}, který nemusí nutně být eigenstates energie. Pro jednoduchost, my předpokládáme, že oni jsou jednotliví, a že oni jsou orthonormal, tj.,

Poznamenat, že tyto státy základu jsou převzaty být nezávislý na čase. My budeme předpokládat, že Hamiltonian je také nezávislý na čase.

Okamžitý stav systému v době t, |a psi; (t)a zvonil;, moci být rozšířen v podmínkách těchto států základu:

kde

Koeficienty _n(t) jsou komplexní proměnné. My můžeme brát je jako osy, které specifikují stav systému, jako pozice a osy hybnosti, které specifikují klasický systém. Jako klasické osy, oni jsou obecně ne konstanta včas a jejich závislost času dají svah závislosti času systému jako celek.

Pravděpodobná hodnota Hamiltonian tohoto státu, který je také zlá energie, je

kde poslední krok byl získán rozháněním |a psi; (t)a zvonil; v podmínkách států základu.

Každý _n(t)' s vlastně odpovídá dva nezávislé míry svobody, protože proměnná má reálnou část a fiktivní část. My teď vykonáváme následující trik: místo toho, aby používal skutečné a fiktivní části jako nezávislé proměnné, my používáme _n(t) a jeho komplex konjugovat _n*(t). S touto volbou nezávislých proměnných, my můžeme vypočítat parciální derivaci

Tím, že aplikuje Schrödinger rovnici a používá orthonormality států základu, toto dále sesadí na

Podobně, jeden může ukázat to

Jestliže my vymezíme “konjugovat hybnost” proměnné _n

pak nahoře rovnice se stojí

který je přesně forma Hamiltonových rovnic, s ' s jako celkové osy, a pi;' s jak konjugovat momenta, a a lang;Ha zvonil; zabrání místa klasický Hamiltonian.