Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Hamiltonian mechanici

Hamiltonian mechanici byli vynalezeni v 1833 Hamilton. Jako Lagrangian mechanici, to je re-formulace klasické mechaniky.

Hamiltonian mechanika může být formulována na jeho vlastní, používat prostory symplectic, a ne se odkazovat na nějaké dřívější představy o síle nebo Lagrangian mechanice. Viďte sekci na jeho matematickém vyjadřování pro toto. Pro první díl tohoto článku, my se ukážeme jak to má arisen historicky od studia Lagrangian mechaniky.

V Lagrangian mechanice, rovnice pohybu jsou závislé na celkových osách {qj | j = 1,... N} a odpovídat celkovým rychlostem. Zneužívat notaci, my píšeme Lagrangian jak, s indexované proměnné rozuměly reprezentovat všechny N proměnné toho typu. Hamiltonian mechanika chce nahradit celkové rychlostní proměnné s celkovými hybnými proměnnými, také známý jak konjugovat momenta. Pro každý zevšeobecnil rychlost, je tam jeden odpovídat si konjugovat hybnost, definovaný jak:

.

V Kartézských souřadnicích, celkové momenta jsou přesně lékařská prohlídka lineární momenta. V kruhových polárních osách, celková hybnost odpovídající úhlové rychlosti je lékařská prohlídka moment hybnosti. Pro libovolný výběr celkových os, to nemůže být možné získat intuitivní výklad konjugovat momenta.

Hamiltonian je Legendre převádí Lagrangian:

.

Jestliže rovnice transformace definovat celkové osy být nezávislý t, to může být ukazováno to H je stejný s energií úhrnu E = T + V.

Každá strana v definici H produkuje diferencovanost:

.

Substituting předchozí definice konjugovat momenta do této rovnice a odpovídající koeficienty, my dostaneme rovnice pohybu Hamiltonian mechaniky, známý jako kanonické rovnice Hamiltona:

Hamiltonovy rovnice jsou nejprve-objednávat diferenciální rovnice, a tak snadnější platit než Lagrangeovy rovnice, který být sekunda-objednat. Nicméně, kroky vést k rovnicím pohybu být těžší než v Lagrangian mechanice - začínat celkovými osami a Lagrangian, my musíme vypočítat Hamiltonian, vyjadřovat každou celkovou rychlost v termínech konjugovat momenta, a nahradit celkové rychlosti v Hamiltonian s konjugovat momenta. Všichni ve všech, tam je malá práce uložená od vyřešení problému s Hamiltonian mechanikou poněkud než Lagrangian mechanici. Nakonec, to bude produkovat stejné řešení jako Lagrangian mechanika a Newtonovy zákony pohybu.

Žádost ředitele Hamiltonian přístupu je že to poskytuje zemní práci hlubším výsledkům v teorii klasické mechaniky.

Tabulka s obsahem
1 matematický formalizmus
2 vnější spojení

Matematický formalizmus

Jestliže my máme prostor symplectic, který přijde přirozeně vybavený Poisson hranatou závorkou a hladkou funkcí H přes to, pak H vymezí jeden-parametrová rodina transformací s ohledem na čas a toto je nazýváno Hamiltonian mechanikou. Zvláště,. Tak, jestliže my máme rozdělení pravděpodobnostia rho;, pak. Toto je nazýváno Liouville teorémem. Každá hladká funkce, G, přes symplectic různý vytváří jeden-parametrová rodina symplectomorphisms a jestliže {G, H} = 0, pak G je udržován a symplectomorphisms jsou transformace symetrie.

Viz též Symplectic prostor.

Poisson algebras

Tam je další zevšeobecňování my můžeme dělat. Místo toho, aby prostě se díval na algebru urovnat funkce symplectic různý, Hamiltonian mechanika může být formulována na generálu komutativní unital skutečně Poisson algebras. Stát je spojitý lineární funkční na Poisson algebře (vybavený některými vhodný topologie) takový to pro nějaký prvek algebry,, ^ 2 mapy ke nonnegative reálnému číslu.

Externí odkazy