Harmonická analýza

Harmonická analýza je odvětví matematiky který studuje reprezentaci funkcí nebo signály jako superpozice základních vln. To vyšetřuje a zevšeobecňuje ponětí o Fourier sérii a Fourier převádí. Základní vlny jsou volány “harmonics”, proto jméno “harmonická analýza.”

Klasický Fourier převádí je ještě zajímavá oblast výzkumu. Například, jestliže my uložíme některé požadavky na funkci f, my může pokus překládat tyto požadavky v podmínkách Fourier převádět f. například, jestliže funkce je compactly podporovaná, pak jeho Fourier převádí smět ne také být compactly podporovaný; toto je velmi základní forma Principu neurčitosti v harmonickém analýzovém nastavení (tam je více důmyslných příkladů tohoto.)

Fourier série může být příhodně studována v souvislosti s prostory Hilberta, který poskytuje spojení mezi harmonickou analýzou a funkční analýzou.

Jeden z modernějších odvětví harmonické analýzy, mít jeho kořeny v střední-dvacáté století, je analýza na skupinách topological. Jádro motivovat nápad být různý Fourier převádí, který může být celkový k převádět funkcí definovaný na místně kompaktních skupinách.

Teorie pro abelian místně kompaktní skupiny je nazýván Pontryagin dualitou; to je zvažováno být v uspokojivém stavu, jak daleko jak vysvětlovat hlavní rysy harmonické analýzy jde. To je vyvinuto v detailu na jeho oddané stránce.

Harmonická analýza zkoumá vlastnosti té duality a Fourier převádí; a pokouší se rozšířit ty rysy na různá nastavení, například k případu non-abelian Skupiny lži.

Peter-Weyl teorém vysvětlí to jak jeden může dostat se harmonics tím, že si vybere jedno ireducibilní zobrazení ven každé třídy rovnocennosti reprezentací. Tato volba harmonics si užije některých těch užitečných vlastností klasický Fourier zobrazí v podmínkách konvolucí přepravování k produktům pointwise, nebo jinak ukazovat jisté chápání základové skupinové struktury.