Harmonický oscilátor

Tabulka s obsahem

1 úvod 2 plná matematická definice 2.1 jednoduchý harmonický oscilátor 2.2 řízený harmonický oscilátor 2.3 navlhčil harmonický oscilátor 2.4 snížený, řízený harmonický oscilátor 3 finální poznámka na matematice

Úvod

harmonický oscilátor je nějaký fyzický systém, který se mění nahoře a pod jeho střední hodnotou s charakteristickou frekvencí, f. Obyčejné příklady harmonických oscilátorů zahrnují kyvadla, masy na jarech a RLC obvody.

Následující článek diskutuje o harmonickém oscilátoru v podmínkách klasické mechaniky. Vidět článek quantum harmonický oscilátor pro diskuzi o harmonickém oscilátoru v kvantové mechanice.

Plná matematická definice

Nejvíce harmonické oscilátory, přinejmenším přibližně, řešit diferenciální rovnici:

kde t je čas, b je ztrátová konstanta a omega;_o je charakteristika kruhová frekvence, a _ocos (a omega;t) reprezentuje něco řídit systém s amplitudou _o a kruhová frekvence a omega;. x měření, které je osciluje; to může být pozice, aktuální, nebo skoro něco jiného. kruhová frekvence je příbuzná frekvenci, f,:

Jednoduchý harmonický oscilátor

Jednoduchý harmonický oscilátor je prostě oscilátor to je žádný snížený ani řízený. Tak rovnice popisovat jednoho je:

Fyzicky, nahoře vlastně nikdy existuje, protože tam bude vždy být tření nebo nějaký jiný odpor ale dva přibližné příklady jsou hmota na jaře a LC obvod.

V případě masového věšení na jaře, Newtonovy zákony, kombinoval s Hooke právem pro chování jara, řekne to:

kde k je tuhost pružiny, m je hmota, y je pozice hmoty, a je jeho zrychlení. Přepisovat rovnici, my trváme:

Nejsnadnější způsob, jak řešit nahoře rovnice má rozpoznat to když d²z/dt² a podpěra; -z, z je nějaká forma sine. Tak my zkoušíme řešení:

kde je amplituda a delta; je fázový posun, a a omega; je kruhová frekvence. Substituting, my máme:

a tak (rozdělovat obě strany - cos (a omega;t + a delta; )):

Nahoře rovnice odhalí to kruhová frekvence řešení je jen závislý na fyzikálních vlastnostech systému, a ne počáteční podmínky (ti jsou reprezentováni a a delta;). To znamená, že co bylo označeno a omega; je ve faktu a omeze;_o. Toto stane se důležité později.

Řízený harmonický oscilátor

Uspokojí rovnici:

Dobrý příklad:

Střídavý proud LC obvod.

nemnoho poznámek o čem odezva obvodu k různému střídavému proudu frekvence.

Snížený harmonický oscilátor

Uspokojí rovnici:

dobrý příklad:

zatížená pružina pod vodou

Si všimnout studny: underdamped, kriticky snížený

Snížený, řízený harmonický oscilátor

rovnice:

příklad:

RLC obvod

Poznámky pro nahoře platit, přechodný vs odezvu ustáleného stavu a ukazatel kvality.

Finální poznámka na matematice

Pro více kompletní popis jak platit nad rovnicí, vidět článek o Diferenciálních rovnicích.