Hermitian

V matematice, Hermitian matice je čtverec matice s komplexem to je se rovnat k jeho vlastní konjugovat přemístit - to je, jestliže element v ith se hádají a jth sloupec je se rovnat k komplex konjugovat elementu v jth se hádají a isloupec th, pro všechny indexy i a j:

Konjugovat přemístit matice je také nazývána jeho adjointa synonymum pro Hermitian je self-adjoint.

Tady je příklad Hermitian matice:

Jestliže všechny počty matice jsou skutečné, pak to je Hermitian jestliže a jediný jestliže to je matice symmetric.

Každá Hermitian matice je normální, a konečný-rozměrný spektrální teorém platí. To říká, že nějaká Hermitian matice může být diagonalized nečleněnou maticí, a že výsledná úhlopříčná matice má jediné skutečné záznamy. Toto znamená, že všichni eigenvaluess Hermitian matice být skutečný, a, navíc, eigenvectors se zřetelnými eigenvalues orthogonal. To je možné najít orthonormal základ Cⁿ se sestávat jediný eigenvectors.

Jestliže eigenvalues Hermitian matice jsou všechny pozitivní, pak matice je pozitivní konečný.

Hermitian operátoři

spojitý lineární operátor : H a rarr; H na Hilbert prostoru H je nazýván Hermitian nebo self-adjoint jestliže

(x,Ay) = (Sekyra,y)

pro všechny elementy x a y H. Tady, parentheses naznačovat skalární součin daný na H.

Tato definice souhlasí s jeden daný nahoře jestliže my bereme jak H Hilbert prostor Cⁿ se standardem tečkovat produkt a interpretovat čtvercovou matici jako lineární operátor na tomto prostoru Hilberta. To je nicméně hodně obecnější jak tam být důležitý nekonečný-rozměrné Hilbert prostory.

spektrum nějakého Hermitian operátor je skutečný; zvláště všichni jeho eigenvalues jsou skutečné. Verze spektrálního teoréma také platí o Hermitian operátorech; zatímco eigenvectors k různému eigenvalues orthogonal, obecně to je ne pravdivý to Hilbert prostor H připustí orthonormal základ se sestávat jediný eigenvectors operátora. Ve skutečnosti, Hermitian operátoři nemusí mít nějaké eigenvalues nebo eigenvectors vůbec.

V matematickém vyjadřování kvantové mechaniky, jeden zvažuje ještě obecnější Hermitian operátory: oni jsou jen definovaní na hustém subspace Hilbert prostoru a nemusí být spojitý.

Například, považovat komplex za prostor Hilberta ²[0,1] a operátor diferencovanosti = d² / dx², definovaný na subspace sestávat ze všech differentiable funkcí f : [0, 1] a rarr; C s f(0) = f(1) = 0. Pak integrace po částech snadno se ukáže jako to je Hermitian. Jeho eigenfunctions jsou hřích sinusoids (na pi;x) pro n = 1, 2,..., se skutečnými eigenvalues n²a pi;²; známý orthogonality funkcí sine následuje jako důsledek Hermitian vlastnictví.

Další příklad: komplexní Hilbert prostor L²(R), a operátor, který násobí danou funkci x:

Af(x) = xf(x)

To je definováno na době všech L² funkce pro kterého pravý-ruka-strana je čtvercová-integrable. je Hermitian operátor bez nějakých eigenvalues a eigenfunctions.