Hilbert prostor

V matematice, Hilbert prostor je prostor skalárního součinu to je kompletní s úctou k normě definovaný skalárním součinem. Hilbert prostory poslouží, že objasní a zevšeobecní pojetí Fourier expanze, jisté lineární transformace takový jak Fourier převádí, a být hlavní důležitosti v matematickém vyjadřování kvantové mechaniky. Oni jsou studováni v funkční analýze.

Tabulka s obsahem

1 úvod
2 příklady
3 základy
4 Reflexitivity
5 ohraničených operátorů
6 Orthogonal doplňky a projekce
7 nespoutaných operátorů

Úvod

Každý skalární součin skutečný nebo komplex vektorový prostor H dá svah normě | |. | | takto:

My voláme H Hilbert prostor jestliže to je kompletní s úctou k této normě. Úplnost v tomto kontextu znamená to nějaká Cauchy sekvence elementů prostor se sblíží k elementu v prostoru, v pocitu, že standard rozdílů se blíží k nule. Každý Hilbert prostor je tak také Banach prostor (ale ne versa zlozvyku).

Všichni konečný-rozměrný skalární součin rozmístí (takový jako Euclidean prostor s obyčejný skalární součin) jsou prostory Hilberta. Nicméně, nekonečný-rozměrné příklady jsou hodně více důležité v aplikacích, které kvantové mechaniky je ten nejprominentnější. Skalární součin povolí vykonávat mnoho “geometrické” stavby známé z konečných rozměrů také v nekonečný-rozměrná nastavení. Celá nekonečný-rozměrný topological vektor rozmístí, Hilbert prostory jsou nejvíce “vychovaný” a nejbližší k konečný-dimenzionální prostory.

Prvky Hilbert prostorů jsou někdy nazývány “vektory”; oni jsou typicky sekvence nebo funguje. V kvantové mechanice například, fyzický systém je popsaný komplexním Hilbert prostorem, který obsahuje “wavefunctions” ten stát pro možné stavy systému. Viďte matematické vyjadřování kvantové mechaniky.

Jedna branka Fourier analýzy má psát danou funkci, zatímco (možná nekonečná) suma násobků daného základu funguje. Tento problém může být studován abstraktně v prostorech Hilberta: každý Hilbert prostor má orthonormal základa každý prvek Hilbert prostoru může být psán v jedinečné cestě jako suma násobků těchto elementů základu.

Hilbert prostory byly jmenovány po Davidovi Hilbertovi, kdo studoval je v souvislosti s integrálními rovnicemi. Definice nicméně je očekávaná k John von Neumanna.

Příklady

Příklady Hilbert prostorů jsou Rⁿ a Cⁿ s definicí skalárního součinu

kde ^* naznačuje komplexní konjugaci.

Hodně typičtější jsou nekonečné rozměrné Hilbert prostory nicméně, zvláště prostory L²([, b]) nebo L²(Rⁿ) čtverce -Lebesgue-integrable funguje s hodnotami v R nebo C, modulo subspace těch funkcí jehož čtverec základní je nulový. Vnitřní produkt dvou funkcí f a g je tady daný

Použití Lebesgue základní zajistí, že prostor bude kompletní. (jeden by měl rodit v mysli to samozřejmě, Lebesgue-integrable funkce je Lebesgue-měřitelná funkce základní jehož absolutní hodnoty je konečný. Tak, funkce není zahrnuta v prostoru Hilberta L² ledaže základní čtverce jeho absolutní hodnoty je konečný.) vidět ^p prostor pro další diskuzi o tomto příkladě.

Hilbert prostor jehož elementy jsou sekvence je dáván l²: elementy jsou sekvence (x_n) skutečný (nebo komplex) čísla takový to

Skalární součin x = (x_n) a y = (y_n) je definován

Více obecně, jestliže B je některý zapadl, my vymezíme l²(B) jako soubor všech funkcí x : B a rarr; R nebo C takový to

Tento prostor se stane Hilbert prostorem jestliže my vymezíme

pro všechny x a y v l²(B). V jistém smyslu vyrobený přesnější dole, každý Hilbert prostor je formy l²(B) pro vhodný soubor B.

Základy

Důležité pojetí je to orthonormal základ Hilbert prostoru H: podmnožina B H se třemi vlastnostmi:

Každý element B má normu 1: e, e> = 1 pro všechny e v B
Každý dva odlišné prvky B orthogonal: e, f> = 0 pro všechny e, f v B s e a ne; f.
lineární rozpětí B je hustý v H.

Příklady orthonormal základů obsahují:

soubor {( 1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1 )} tvoří orthonormal bázi R³
soubor {f_n : n a isin; Z} s f_n(x) = exp(2 a pi;inx) tvoří orthonormal východisko pro komplexní prostor L²([0,1])
soubor {e_b : b a isin; B} s e_b(c) = 1 jestliže b=c a 0 jinak tvoří orthonormal bázi l²(B).

Si všimnout toho v nekonečný-rozměrný případ, orthonormal základ nebude základ ve smyslu pro lineární algebru; rozlišovat dva, druhý základ je také nazýván Hamel základem.

Používat Zornovy lemma, jeden může ukazovat to každý Hilbert prostor připustí orthonormal základ; dále, nějaké dva orthonormal základy stejného prostoru mají stejný mohutnost. Hilbert prostor je oddělitelný jestliže a jediný jestliže to připustí počitatelný orthonormal základ.

Od všech oddělitelné Hilbert prostory jsou isomorphic, a protože téměř všechny prostory Hilberta používané v fyzice jsou oddělitelné, když physisists mluví o Hilbert prostoru oni znamenají některého oddělitelný.

Jestliže B je základ orthonormal H, pak každý element x H smět být psán jak

Dokonce jestliže B je uncountable, jediné countably mnoho požadavků v tomto součtu non-nula, a výraz je proto přesně stanovený. Tento součet je také nazýván Fourier expanzí x.

Jestliže B je základ orthonormal H, pak H isomorphic k l²(B) v následujícím smyslu: tam existuje bijective lineární mapa a Phi;: H a rarr; l²(B) takový to

pro všechny x a y v H.

Reflexitivity

Důležitá vlastnost nějakého Hilbert prostoru je jeho reflexivity. Ve skutečnosti, více je pravdivý: jeden má kompletní a příhodný popis jeho dvojího prostoru (doba všech nepřetržitých lineárních funkcí od prostoru H do pole základu), který je sám Hilbert prostor. Opravdu, Riesz teorém reprezentace řekne to ke každému elementu a phi; dvojí H ' tam existuje jeden a jediný jeden u v H takový to

pro všechny x v H

a asociace a phi; a harr; u poskytuje antilinear izomorfismus mezi H a H '. Tato korespondence je využívána podprsenka-ket notace populární v fyzice ale odsuzoval matematiky.

Ohraničení operátoři

Pro Hilbert prostor H, spojitý lineární operátoři : H a rarr; H být zvláštního zájmu. Takový nepřetržitý operátor je ohraničený v pocitu, že to mapuje omezené množiny k omezeným množinám. Toto povolí definovat jeho normu jak

Součet a složení dvou spojitých lineárních operátorů je znovu spojité a lineární. Pro y v H, mapa, která posílá x k y, Sekyra> je lineární a spojitý, a shodovat se k Riesz teorém reprezentace může proto být reprezentován ve formě

Toto definuje dalšího nepřetržitého lineárního operátora ^* : H a rarr; H, adjoint .

Soubor L (H) všech spojitých lineárních operátorů na H, spolu se sčítáním a operacemi složení, standard a adjoint operace, formy ^*- algebra; ve skutečnosti, toto je motivovat prototyp a nejdůležitější příklad C^*- algebra.

Element L (H) je volán self-adjoint nebo Hermitian jestliže ^* = . Tito operátoři sdílejí mnoho rysů reálných čísel a jsou někdy vidění jako zevšeobecňování je.

Element U L (H) je volán unitary jestliže U invertible a jeho inverzní je dáván U^*. Toto může také být vyjádřeno tím, že vyžaduje to Ux, Uy> = x, y> pro všechny x a y v H. Nečlenění operátoři tvoří skupinu pod složením, který může být viděn jako skupina autormorphism H.

Orthogonal doplňky a projekce

Jestliže S je podmnožina Hilbert prostoru H, my vymezíme

Soubor S⁺ je uzavřený subspace H a tak tvoří sebe Hilbert prostor. Jestliže S je uzavřený subspace H, pak S⁺ je nazýván doplňkem orthogonal S protože každý x v H moci pak být zapsaný jedinečná cesta jako součet

x = s + t

s s v S a t v S⁺. Funkce P : H a rarr; H který posílá x k s je volán orthogonal projekce na S. P je self-adjoint nepřetržitý lineární operátor na H s vlastnictvím ² = P, a nějaký takový operátor je orthogonal projekce na nějakém uzavřeném subspace. Pro každý x v H, P(x) je to element S který je nejblíže k x.

Nespoutaní operátoři

V kvantové mechanice, jeden také zvažuje lineární operátory, kteří nemusí být spojití a který nemusí být definován na celém prostoru H. Jeden vyžaduje jen že oni jsou definováni na hustém subspace H. To je možné vymezit self-adjoint nespoutané operátory, a tito hrají roli observables v matematickém vyjadřování kvantové mechaniky.

Typické příklady self-adjoint nespoutaní operátoři na prostoru Hilberta L²(R) být dán derivátem Af = jestliže ' (kde i je fiktivní jednotka a f je integrable čtverce funkce) a násobením s x: Bf(x) = xf(x). Tito odpovídají hybnosti a pozice observables, příslušně. Si všimnout toho žádný ani B je definován na všech H, protože v případě derivát nemusí existovat, a v případě B funkce produktu nemusí být čtverec integrable. V obou případech, soubor možných argumentů tvořit husté subspaces L²(R).

Potřeba se zmínit o Spektru operátora, spektrální teorém

Viz též matematická analýza, funkční analýza, harmonická analýza.