Hyperbolická geometrie
Hyperbolická geometrie, také volal sedlo nebo Lobachevskian geometrii, je non-Euclidean geometrie trval tím, že nahradí paralelní postulát s hyperbolickým postulátem, který říká: “daný linka L a nějaký bod ne na L, přinejmenším dvě zřetelné linky existují který projíždět a být paralelní k L.” v tomto případě protějšek znamená, že linky neprotínají L, dokonce když prodloužený, poněkud než to oni jsou konstantní vzdálenost od L.Hyperbolická geometrie byla prozkoumána Saccheri v 1700s, kdo přesto věřil, že to bylo rozporuplné, a pozdnější Bolyai, Gauss, a Lobachevsky, po kom to je někdy jmenováno. (vidět článek na non-Euclidean geometrie pro více historie.)
Tam jsou tři modely obyčejně užité na hyperbolickou geometrii. Klein model používá vnitřek kruhu pro hyperbolic letadlo, a chordss kruhu jako linky. Tento model má výhodu jednoduchosti, ale nevýhoda, že se natočí v hyperbolickém letadle být zkreslen. Poincaré model disku také zaměstná vnitřek kruhu, ale linky jsou reprezentovány oblouky kruhů, které jsou orthogonal ke kruhu hranice plus průměrům hraničního kruhu. Poincaré napůl-model letadla vezme jednoho-polovina Euclidean letadla, jak určený Euclidean linkou B, být hyperbolické letadlo (B sám není zahrnutý). Hyperbolické linky jsou pak jeden orthogonal půlkružnic k B nebo paprsky svislý k B.
Oba Poincaré modely chrání hyperbolické úhly, a být proto conformal. Všechny isometries uvnitř těchto modelů jsou proto moebius transformace.
Čtvrtý model je Minkowski model, který upotřebí N-rozměrné hyperboloid revoluce zapuštěný v N + 1-rozměrný euclidean prostor. Tento model zaměstná metrický whereby vzdálenost mezi nějakými dvěma body na hyperboloid je 2 = x12 + x22 + ... + xN2 - xN+12. Toto je stejné metrický jak to používalo v relativnosti speciality pro prostoročas.
Příklady tří modelů přijít.
Hyperbolická geometrie má mnoho vlastností cizích Euclidean geometrii, všichni který jsou důsledky hyperbolického postulátu.
- Hyperbolická geometrie: Klein model
- Hyperbolická geometrie: Poincaré napůl hoblovat model
- Hyperbolická geometrie: Poincaré model disku
- Hyperbolická geometrie: Minkowski model