Parafovat a terminál namítá

V teorii kategorie, abstraktní odvětví matematiky, počáteční předmět kategorie C je objekt já v C takový to pro každý objekt X v C, tam existuje přesně jeden morphism já? X. dvojí pojem je to objektu terminálu: T je terminál jestliže pro každý objekt X v C tam existuje jediný morphism X? T. počáteční objekty jsou také nazvané coterminal a objekty terminálu jsou také volalo finále.

Jestliže objekt je oba parafují a terminál, to je voláno objekt nuly nebo nula namítají.

Nepřehlédněte: Tato stránka obsahuje strojový překlad textu z anglické encyklopedie Wikipedia. Pokud budou některé pasáže špatně srozumitelné, zkuste se podívat i na text v originále, který najdete pod odkazem Initial and terminal objects. Překlad byl vytvořen pomocí překladače Eurotran.

Příklady

Prázdná množina je jedinečný počáteční objekt v kategorii souborů; každý-element zapadl (singleton) je objekt terminálu v této kategorii; tam být žádná nula namítá.
Podobně, prázdný prostor je jedinečný počáteční objekt v kategorii prostorů topological; každý-prostor bodu je objekt terminálu v této kategorii.
V kategorii non-prázdné množiny, nejsou tam žádné počáteční objekty. Singletons nejsou parafovat: zatímco každé non-prázdná množina připustí funkci od singleton, tato funkce je obecně ne jedinečný.
V kategorii skupin, nějaká triviální skupina je nulový objekt. Stejný je pravdivý pro kategorie skupin abelian, modulů přes prsten a vektorových prostorů přes pole. Toto je původ termínu “nulový objekt”.
V kategorii semigroups, prázdný semigroup je počáteční objekt a nějaký semigroup singleton je objekt terminálu. Nejsou tam žádné objekty nuly. V subcategory monoids, nicméně, každé triviální monoid (sestávat z jediný element identity) je nulový objekt.
V kategorii špičatých souborů (jehož objekty jsou non-prázdné množiny spolu s rozeznaným prvkem; morphism od (,) k (B, b) být funkce f :? B s f () = b), každý singleton je nulový objekt. Podobně, v kategorii špičatých topological prostorů, každý singleton je nulový objekt.
V kategorii prstenů s jednotou a jednotě-morphisms perserving, kruh celých čísel Z je počáteční objekt. Triviální prsten se sestávat jediný jediného elementu 0 = 1 je objekt terminálu. V kategorie generála zní homomorphisms, triviální prsten je nulový objekt.
V kategorii polí, tam být ne parafovat nebo terminál namítá. Nicméně, v subcategory polí charakteristiky p, primární pole charakteristiky p tvoří počáteční objekt.
Nějaký částečně spořádaný soubor (P,?) moci být interpretován jako kategorie: objekty jsou elementy P, a tam je jediný morphism od x k y jestliže a jediný jestliže x? y. tato kategorie má počáteční objekt jestliže a jediný jestliže P má nejméně elementu; to má objekt terminálu jestliže a jediný jestliže P má největší element.
Jestliže monoid je považován za kategorii s jediným objektem, tento objekt je žádný parafovat nebo terminál ledaže monoid je triviální, ve kterém případě to je oba.
V kategorii grafů, graf nuly (bez vertices a okrajů) je počáteční objekt. Graf s jediným vrcholem a jedinou smyčkou je terminál. Kategorie jednoduchých grafů nemá objekt terminálu.
Podobně, kategorie všech malých kategorií s functors jak morphisms má prázdnou kategorii jako počáteční objekt a kategorii 1 (s jediným objektem a morphism) jako objekt terminálu.
Nějaký prostor topological X moci být zobrazil jako kategorii tím, že vezme otevřené soubory jako objekty a jediný morphism mezi dvěma otevřenými soubory U a V jestliže a jediný jestliže U? V. prázdná množina je počáteční předmět této kategorie, a X je objekt terminálu. Toto je zvláštní případ případu “částečně spořádaný soubor”, zmínil se o nahoře. Brát P: = soubor otevřených podmnožin
Jestliže X je prostor topological (zobrazil jako kategorii jak je uvedeno výše) a C je nějaká malá kategorie, my můžeme tvořit kategorii celého contravariant functors od X k C, používání přirozené transformace jako morphisms. Tato kategorie je volána kategorie presheaves na X s hodnotami v C. Jestliže C má počáteční objekt c, pak functor konstanty, který pošle každý otevřený soubor k c je počáteční objekt v kategorii presheaves. Podobně, jestliže C má terminál objekt pak korespondenční konstantní functor slouží jako presheaf terminálu.
V kategorii schémat, specifikace (Z) primární spektrum kruhu celých čísel je objekt terminálu. Prázdné schéma (stejné s primárním spektrem triviálního prstenu) je počáteční objekt.
Jestliže my opravíme homomorphism f :? B abelian skupin, my můžeme zvažovat kategorii C sestávat ze všech párů (X,?) kde X je skupina abelian a? : X? je skupina homomorphism s f? = 0. Morphism od páru (X,?) k páru (Y,?) je definován být homomorphism skupiny r : X? Y s vlastnictvím? r =?. Jádro f je objekt terminálu v této kategorii; toto je nic ale reformulation univerzální vlastnosti jádr. S podobnou stavbou, cokernel f moci být viděn jako počáteční předmět vhodné kategorie.
V kategorii výkladů algebraického modelu, počáteční objekt je počáteční algebra, výklad, který poskytuje tolik zřetelných objektů jako model dovolí a už žádná.

Vlastnosti

Existence a jedinečnost

Parafovat a objekty terminálu nejsou požadované existovat v dané kategorii. Nicméně, jestliže oni přece existují, oni jsou nezbytně jedineční. Specificky, jestliže I1 a I2 je dva různé počáteční objekty, pak je jedinečný izomorfismus mezi nimi. Navíc, jestliže já je počáteční objekt pak nějaký isomorphic objektu k já je také počáteční objekt. Stejný je pravdivý pro terminál namítá.

Pro kompletní kategorie tam je existenční věta pro počáteční objekty. Specificky, (místně malý) dokončit kategorii C má počáteční objekt jestliže a jediný jestliže tam existovat soubor I (ne pořádná třída) a I-indexovaná rodina (K_i) objektů C takový to pro nějaký objekt X C tam přinejmenším jeden morphism K_i ? X pro některé i ? I.

Formulace ekvivalentu

Objekty terminálu v kategorii C smět také být definovaný jako limity jedinečného prázdného diagramu?? C. protože prázdná kategorie vacuously jednotlivou kategorii, objekt terminálu může být myšlenka jako prázdný produkt. Dually, počáteční objekt je colimit prázdného diagramu?? C a moci být myšlenka jako prázdný coproduct nebo kategorický součet.

To znamená, že nějaký functor, který chrání limity bude pojit se s terminálovými předměty k objektům terminálu a nějaký functor, který chrání colimits bude pojit se s počátečními předměty k počátečním objektům. Například, počáteční objekt v nějaké konkrétní kategorii s volnými objekty bude volný objekt vytvořený prázdnou množinou (od volného functor, bytí zanechalo adjoint zapomnětlivému functor k souboru, hájemství colimits).

Parafovat a objekty terminálu mohou také být charakterizovány v podmínkách univerzálních vlastností a adjoint functors. Nechaný 1 být jednotlivá kategorie s jediným objektem (označil •), a nechaný U : C? 1 být jedinečný (konstanta) functor k 1. Pak

An parafuje objekt já v C je univerzální morphism od • k U. functor, který posílá • k já je zanechal adjoint U.
Objekt terminálu T v C je univerzální morphism od U k •. Functor, který posílá • k T má pravdu adjoint k U.

Vztah k jiným kategorickým stavbám

Mnoho přirozených staveb v teorii kategorie může být formulováno v podmínkách nálezu parafovat nebo objekt terminálu ve vhodné kategorii.

Morphism univerzálie od objektu X k functor U moci být definován jako počáteční objekt v kategorii čárky (X? U). Dually, morphism univerzálie od U k X je objekt terminálu v (U? X).
Limit diagramu F je objekt terminálu v Coneovi (F) kategorie kuželů k F. Dually, colimit F je počáteční objekt v kategorii kuželů od F.
Reprezentace functor F zapadnout je počáteční objekt v kategorii elementů F.

Jiné vlastnosti

Automorphism skupina parafovat nebo objekt terminálu já je triviální. Aut (já) = Hom (já, já) = {idI}.
Jestliže kategorie C má nulový objekt 0 pak pro nějaký pár objektů X a Y v C jedinečné složení X? 0? Y je nulový morphism od X k Y.

Odkazy

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, a George E. Strecker (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie. John Wiley a synové. ISBN 0-471-60922-6. http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc. pdf.
Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro pracovního matematika. Texty absolventa v matematice 5 (( 2. ed.) ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.

Tento článek je umístěný z části na PlanetMath článku o příkladech parafovat a terminál namítá.