Injective funkce
matematická funkce je volána injective (nebo osobní nebo injekce) jestliže funkce mapuje žádnou víc než jednu možnou vstupní hodnotu ke každé možné výstupní hodnotě. (toto je v kontrastu k “mnoho k jednomu” fungovat, které mapy dva nebo více hodnot vstupu k některým hodnotám výstupu).Více formálně, funkce f: X a rarr; Y je injective jestliže pro každý y v codomain Y tam je u nejvíce jeden x v doméně X s f(x) = y. Dát další cestu, daný x a x' v X, jestliže f(x) = f(x'), pak to znamená to x = x'.
Surjective, ne injective | Injective, ne surjective |
Bijective | Ne surjective, ne injective |
Když X a Y jsou oba reálná osa R, pak funkce injective f: R a rarr; R moci být zobrazil jako jeden jehož graf je nikdy protínán nějakou horizontální linkou více než jakmile. (toto je test horizontální linky.)
Zvažovat funkci f: R a rarr; R definovaný f(x) = 2x + 1. Tato funkce je injective, protože daný libovolný reálná čísla x a x', jestliže 2x + 1 = 2x' + 1, pak 2x = 2x', tak x = x'.
Na druhé straně, funkce g: R a rarr; R definovaný g(x) = x2 je ne injective, protože (například) g(1) = 1 = g(a bez; 1).
Nicméně, jestliže my určíme funkci h: R+ a rarr; R stejnou rovnicí jak g, ale s doména omezila se na jen nonnegative reálná čísla pak funkce h je injective. Toto je protože, daný libovolná nonnegative reálná čísla x a x', jestliže x2 = x'2, pak |x| = |x' |, tak x = x'.
- Funkce f: X a rarr; Y je injective jestliže a jediný jestliže X je prázdná množina nebo tam existuje funkce g: Y a rarr; X takový to g o f se rovná funkci identity na X.
- Funkce je bijective jestliže a jediný jestliže to je jak injective tak surjective.
- Jestliže g o f je injective, pak f je injective.
- Jestliže f a g jsou oba injective, pak g o f je injective.
- f: X a rarr; Y je injective jestliže a jediný jestliže, daný nějaké funkce g,h: W a rarr; X, kdykoli f o g = f o h, pak g = h. Jinými slovy, injective funkce jsou přesně monomorphisms v kategorii souborů.
- Jestliže f: X a rarr; Y je injective a A je podmnožina X, pak f a bez; 1(f(A)) = A. Tak, A moci být dostal se z jeho obrazu f(A).
- Jestliže f: X a rarr; Y je injective a A a B jsou oba podmnožiny X, pak f(A a čepice; B) = f(A) a čepice; f(B).
- Každá funkce h: W a rarr; Y moci být rozložen jak h = f o g pro vhodnou injekci f a surjection g. Toto rozložení je jedinečné až do izomorfismu, a f smět být myšlenka jako funkce zahrnutí rozsahu h(W) h jako podmnožina codomain Y h.
- Jestliže f : X a rarr; Y je funkce injective, pak Y má přinejmenším tolik elementů jak X, ve smyslu pro kardinální čísla.
Viz též: Surjection, Bijection