Prostor skalárního součinu

V matematice, prostor skalárního součinu je vektorový prostor s další strukturou, skalárním součinem, skalárním součinem nebo skalárním součinem, který dovolí nám promluvu o úhlech a délkách vektorů. Prostory skalárního součinu jsou zevšeobecňování Euclidean prostoru (kde skalární součin zabere místo skalárního součinu) a být studován v funkční analýze.

Formálně, prostor skalárního součinu je skutečný nebo komplex vektorový prostor V spolu s mapou f : V x V a rarr; F kde F je země pole (jeden R nebo C). My píšeme x, y> místo toho f(x, y) a vyžadovat to následující axiómy jsou uspokojené:

kde * reprezentuje komplexní konjugaci, a F je pole scalars.

Funkce, která následuje sekundu a třetí axiómy je volána sesqui-lineární operátor (jeden-a-- napůl lineární operátor). Sesqui-lineární operátor, který je pozitivní (x, x> a ge; 0) je nazýván polořadovkovým skalárním součinem. Funkce satisying všechny tři axiómy je skalární součin. Si všimnout tolika autorů vyžadovat skalární součin být lineární v první a konjugovat-lineární ve druhém argumentu, opačný ke konvenci adoptoval nahoře. Tato změna je bezvýznamná, ale definice nahoře zajistí hladší spojení k podprsenka-ket notace populární v kvantové mechanice.

Pro několik příkladů prostorů skalárního součinu, viďte Hilbert prostor.

Tady a v pokračování, my budeme psát | |x| | pro a radic;x, x>. Toto je dobře definované axiómem 1 a je myšlenka jako délka vektoru x. Přímo z axiómů, my můžeme uzavřít pokračování:

• Cauchy-Schwarz nerovnost: |x, y> | a le; | |x| | · | |y| | pro některého x, y v V s rovností jestliže a jediný jestliže x a y být linearly závislý
• Nerovnost trojúhelníku: | |x + y| | a le; | |x| | + | |y| |

Protože nerovnosti trojúhelníku a protože axióma 2, my vidíme to | | · | | je norma, která se otočí V do normed vektorového prostoru a od této doby také do metrického prostoru. Nejdůležitější vnitřní produktové prostory jsou ones který být kompletní s ohledem na toto metrický; oni jsou nazýváni Hilbert prostory. Každý skalární součin V prostor je hustý subspace nějakého prostoru Hilberta. Tento prostor Hilberta je nezbytně jedinečně předurčený V a je postaven tím, že dokončí V.

• Právo rovnoběžníku: | |x + y| |² + | |x a bez; y| |² = 2 | |x| |² + 2 | |y| |²
• Pythagorean teorém: Kdykoli x, y být v V a x, y> = 0, pak | | x | |² + ||y||² = ||x+y||².

přerušení na Pythagoras výnosech:

• Jestliže x₁,..., x_n jsou orthogonal vektory, to je, x_j, x_k> = 0 kdykoli j a ne; k, pak

a součet; | |x_k||² = | | a součet; x_k||²

V pohledu na Cauchy-Schwarz nerovnost, my také poznamenáme to je spojitý od V x V k F. Toto dovolí nám rozšířit Pythagoras teorém k nekonečně mnoho summands:

• Parseval identita: Jestliže x_k jsou vzájemně orthogonal vektory v V a jestliže a součet; x_k se sblíží, pak

a součet; | |x_k||² = | | a součet; x_k||²

Další důsledek Cauchy-Schwarz nerovnost je že to je možné definovat úhel a phi; mezi dvěma non-nulové vektory x a y (přinejmenším v případě F = R) psaním

cos (a phi;) = x, y> / (| |x| | · | |y| |)

v analogii k situaci v Euclidean prostoru.

Několik druhů map : V -> W mezi skalárním součinem prostory jsou závažnosti:

• Lineární mapy, tj. (sekyra + y) = (x) + (y) pro všechny v F a všichni x a y v V.
• Spojitý lineární mapy, tj. je lineární a spojitý s úctou k metrický definovaný nahoře, nebo equivalently, je lineární a soubor {| |Sekyra| |: x v V s | |x| | a le; 1} je ohraničený.
• Isometries, tj. je lineární a Sekyra, Ay> = x, y> pro všechny x, y v V, nebo equivalently, je lineární a | |Sekyra| | = | |x| | pro všechny x v V. Všechny isometries injective.
• Isometrical isomorphisms, tj. isometry, který je surjective (a od této doby bijective).

Od bodu pohledu na skalární součin teorie prostoru, není tam žádná potřeba rozlišovat mezi dvěma prostory, které jsou isometrically isomorphic.

Viz též:

• vnější produkt