Integrace po částech

V matematice, integrace po částech je obecné pravidlo, které převádí základní počtu produktů funkcí do jiného integrals. Cíl je že tito jsou jednodušší. Pravidlo se vynoří z pravidla produktu rozdílnosti.

Předpokládat f(x) a g(x) být dva nepřetržitě differentiable funguje. Pak pravidlo říká

nebo v kratším ročníku, jestliže my jsme nechali u = f(x), v = g(x) a diferencovanosti du = fa připravit; (x) dx a dv = ga připravit; (x) dx, pak to je ve formě ve kterém to je nejvíce často viděné:

Jednotlivá analogie pro sekvence, volal shrnutí částmi, existuje.

Si všimnout toho originál základní obsahuje derivát g; aby byl schopný uplatnit pravidlo, vy potřebujete najít jeho antiderivative g a pak vy ještě musíte ocenit vyplývat základní a int;g f ' dx.

Alternativní zápis má výhodu, že faktory výrazu originálu jsou poznány jak f a g, ale nevýhoda vložený základní:

Tato rovnice je platná kdykoli f je nepřetržitě differentiable a g je spojitý.

Jestliže my kombinujeme první rovnici nahoře se základním teorémem počtu, konečný integrals může také být integrovaný částmi. Jestliže my oceníme obě strany rovnice mezitím a b a přijmout f (x) a g (x) být spojitý, tím, že aplikuje základní teorém počtu, my dostaneme tuto užitečnou rovnici:

Tabulka s obsahem

1 aplikace 2 příklady 3 ospravedlnění pravidla 4 spojení s distribucemi

Aplikace

Pravidlo je nápomocné vždy, když vy potřebujete integrovat funkci h(x) a vy jste schopní rozdělit to do produktu dvou funkcí, h(x) = f(x)g(x), v takový cesta, kterou vy znáte jak rozlišovat f, jak začlenit g, a jak zabývat se vyplývat základní f ' časy základní g.

Příklady

Aby počítal:

Nechaný:

u = x \, tak to du = dx,

dv = cos (x) dx, tak to v = hřešit (x).

Pak:

kde C je libovolná integrační konstanta.

Tím, že opakovaně používá integraci po částech, integrals takový jak

moci být počítán ve stejné módě: každé použití pravidla sníží sílu x jeden.

Zajímavý příklad, který je obyčejně viděn je:

kde, zvláštně dost, nakonec, vy nemusíte dělat skutečnou integraci.

Tento příklad používá integraci po částech dvakrát. Nejprve nechal:

u = e^x; tak du = e^xdx

v = hřešit (x); tak dv = cos (x) dx

Pak:

Nyní, ocenit zůstávat základní, my používáme integraci po částech znovu, s:

u = e^x; du = e^xdx

v = - cos (x); dv = hřešit (x) dx

Pak:

Dávat tyto spolu, my dostaneme

Poznamenejte, že stejné základní přehlídky zvýší na obou stranách této rovnice. Tak vy můžete jednoduše sčítat neoddělitelný od obou stran dostat:

Jiné dva slavné příklady jsou, když vy vezmete něco který není produkt jako produkt 1 a sám, a používat integraci po částech. Toto pracuje jestliže vy víte to jak rozlišit funkci vy chcete začlenit a vy také víte to jak integrovat toto časy derivátu x.

První příklad je a int; ln (x) dx. Psát toto jak:

Nechaný:

u = ln (x); du = 1 /x dx

v = x; dv = 1 · dx

Pak:

kde, znovu, C je libovolná integrační konstanta

Druhý příklad je a int; arctan (x) dx, kde arctan (x) je nepřímá úměrnost funkce tangenty. Re-psát toto jak:

Nyní nechat:

u = arctan (x); du = 1 / (1 +x²) dx

v = x; dv = 1 · dx

Pak:

používat kombinace inverzní řetězové pravidlové metody a přirozený logaritmus základní podmínka.

Ospravedlnění pravidla

Integrace po částech vyplývá z pravidla produktu rozdílnosti: Jestliže dva nepřetržitě differentiable funguje u(x) a v(x) být dáván, pravidlo produktu říká to

Tím, že integruje obě strany, my dostaneme

Latter základní moci být psán jak suma dvou integrals od integrace je lineární:

(skutečnost, že u a v být nepřetržitě differentiable zajistí, že dva individuální integrals existují.) odečítat a int; uv' dx od obou stran dá požadovaný vzorec integrace po částech.

Spojení s distribucemi

Když definuje distribuce, integrace spíše pak rozdílnost je základní operace. Deriváty distribucí jsou pak definované aby dělal integraci prací částí.