Přechodný hodnotový teorém
V počtu, přechodný hodnotový teorém je jeden dvou teorémů který účet je dáván dole.| Tabulka s obsahem |
| 1 přechodný hodnotový teorém 2 přechodný hodnotový teorém integrace |
přechodný hodnotový teorém počtu řekne pokračování: Předpokládat, že Já je pauza v reálných číslech R a to f : Já -> R je spojitý fungovat. Pak obraz zapadl f ( Já ) je také pauza.
To je často řeknuto v následujícím rovnocenném ročníku: Předpokládat, že f : [ , b] -> R je spojitý a to u je reálné číslo uspokojující f () u f (b) nebo f () > u > f (b). Pak pro některé c v ( , b), f(c) = u.
Toto zachytí intuitivní vlastnost spojitých funkcí: jestliže f (1) = 3 a f (2) = 5 pak f muset být se rovnat k 4 někde mezi 1 a 2. To reprezentuje názor, že graf spojité funkce může být kreslen bez zvedání vaše tužka od papíru.
Důkaz teoréma: My se ukážeme jako první případ f () u f (b); sekunda je podobná.
Nechaný S = {x v [, b]: f(x) a le; u}. Pak S non-se vyprázdnit (jak je v S) a skákal nahoře b. Proto vlastnictvím kontinua reálných čísel, supremum c = popíjet S existuje. My prohlašujeme, že f (c) = u.
Předpokládat nejprve to f (c) > u. Pak f (c) - u > 0, tak tam je a delta; > 0 takový to | f (x) - f (c) | f (c) - u kdykoli | x - c | f je spojitý. Ale pak f (x) > f (c) - ( f (c) - u ) = u kdykoli | x - c | f (x) > u pro x v ( c - a delta;, c + a delta;) a tak c - a delta; je horní směřovat k S který je menší než c, rozpor.
Předpokládat příští to f (c) u. Znovu, souvislostí, tam je a delta; > 0 takový to | f (x) - f (c) | u - f (c) kdykoli | x - c | f (x) f (c) + ( u - f (c)) = u pro x v ( c - a delta;, c + a delta;) a tam jsou čísla x větší než c pro kterého f (x) u, znovu rozpor s definicí c.
My dedukujeme, že f (c) = u jak řečený.
Přechodný hodnotový teorém je v esenci ekvivalentní k Rolleovu teorému. Pro u = 0 nahoře, to je také známé jako Bolzano teorém a následuje bezprostředně od středního hodnotového teoréma počtu. Tento teorém byl nejprve řeknut, spolu s důkazem, který používal techniky, které jsou nyní považovány za non-pečlivý, Bernard Bolzano.
Přechodný hodnotový teorém může být viděn jako důsledek pokračování dvě sdělení od topologie:
- Jestliže X a Y jsou prostory topological, f : X -> Y je spojitý, a X je připojený, pak f(X) souvisí.
- Podmnožina R souvisí jestliže a jediný jestliže to je pauza.
Přechodný hodnotový teorém integrace
V integraci přechodný hodnotový teorém má různé kroucení. V tomto kontextu (odvozený ze středního hodnotového teoréma nahoře) to je používáno odkazovat se na následující fakt:
Přijmout je spojitý fungovat na nějaké pauze (který je typicky reálná čísla, R). Pak oblast dolů funkce na jisté pauze je stejná s délkou pauzy násobené nějakou hodnotou funkce takový to.