Pauza (matematika)

V základní algebře, pauza je soubor, který obsahuje každé reálné číslo mezi dvěma ukázanými čísly, a možná dvě čísla sám. Například, pauza “(10, 20)” kandiduje na všechna reálná čísla mezi 10 a 20, ne včetně 10 nebo 20. Na druhé straně, pauza “[10, 20]” zahrnuje každé číslo mezi 10 a 20 podél s čísla 10 a 20. Jiné možnosti jsou níže uvedeny.

V vyšší matematika, formální definice je sledování: pauza je podmnožina S totálně spořádaného souboru T s vlastnictvím to kdykoli x a y být v S a x z y pak z je v S.

Jak zmínil se o nahoře, obzvláště důležitý případ je když T = R, soubor reálných čísel.

Pauzy R být pokračování jedenáct jiných typů (kde a b jsou reálná čísla, s b):

1. (,b) = { x | x b }
2. [,b] = { x | a le; x a le; b }
3. [,b) = { x | a le; x b }
4. (,b] = { x | x a le; b }
5. (, a infin;) = { x | x > }
6. [, a infin;) = { x | x a ge; }
7. (- a infin;,b) = { x | x b }
8. (- a infin;,b] = { x | x a le; b }
9. (- a infin;, a infin;) = R sám, soubor všech reálných čísel
10. {}
11. prázdná množina

V každém případě kde oni se objeví nahoře, a b být známý jako koncové body pauzy. Si všimnout toho hranatá závorka [nebo] ukáže, že koncový bod je zahrnut v pauze, zatímco kulatá závorka (nebo) ukáže, že to není. Pro více informace o zápisu používala nahoře, vidět Naivní teorii množin.

Intervaly typu (1), (5), (7), (9) a (11) být nazýván otevřenýma pauzami (protože oni jsou otevřené soubory) a pauzy (2), (6), (8), (9), (10) a (11) uzavřené pauzy (protože oni jsou uzavřené soubory). Pauzy (3) a (4) být někdy nazvaný napůl-uzavřený (nebo, ne překvapivě, napůl-otevřený) pauzy. Si všimnout toho pauzy (9) a (11) jsou oba otevření a uzavřený, který není stejný věc jako polovina bytí-otevřený a napůl-uzavřený.

Pauzy (1), (2), (3), (4), (10) a (11) být nazýván ohraničenými pauzami a pauzami (5), (6), (7), (8) a (9) nespoutané pauzy. Pauza (10) je také známý jako singleton.

délka ohraničených pauz (1), (2), (3), (4) je b- v každém případě. totální délka sekvence pauz je suma délek pauz. Žádná sleva je dělána pro křižovatku pauz. Například, úplná délka sekvence {( 1, 2), (1.5, 2.5 )} je 1 + 1 = 2, přes skutečnost, že odbor sekvence je interval délky 1.5.

Pauzy hrají důležitou roli v teorii integrace, protože oni jsou nejjednodušší soubory jehož “velikost” nebo “míra” nebo “délka” jde snadno vymezit (vidět nahoře). Představa o míře může pak být rozšířena ke komplikovanějším souborům, vést k Borel míře a nakonec k Lebesgue míře.

Pauzy jsou přesně připojené podmnožiny R. Oni jsou také přesně konvexní podmnožiny R. Protože nepřetržitá představa o připojeném souboru je spojena, to znamená, že jestliže f: Ra rarr;R je spojitá funkce a Já je pauza pak jeho obraz f(Já) je také pauza. Toto je jedna formulace přechodného hodnotového teoréma.

---

Pro částečně spořádaný soubor my můžeme vymezit pro a le; b:

[,b] = { x | a le; x a le; b }

= Aritmetika pauzy =

Aritmetika pauzy byla objevená v 1956 M. Warmus. To definuje soubor operací, které mohou být aplikovány na pauzách:

T · S = { x | a existovat; y a isin; T, a existovat; z a isin; S, x = y · z }

• [,b] + [c,d] = [+c, b+d]
• [,b] - [c,d] = [-d, b-c]
• [,b] * [c,d] = [min (ac, inzerát, bc, bd), maximální (ac, inzerát, bc, bd)]
• [,b] / [c,d] = [min (/c, /d, b/c, b/d), maximální (/c, /d, b/c, b/d)]

Divize pauzou obsahující nula není možná.

Tyto operace jsou komutativní, asociativní a náhradník -distribuční (X ( Y + Z ) a sube; XY + XZ)