Důkaz invalidy

V matematice, tam být četný”důkazy” to ukazovat nemožné výsledky. Tyto důkazy, zatímco zdánlivě platný k náhodnému pozorovateli, vždy obsahuje invalidní krok kde princip matematiky je porušen. Tito jsou normálně považováni za pouhé kuriozity, ale moci být zvyklý na přehlídku důležitost přísnosti v matematice.

Tabulka s obsahem

1 příklady 1.1 důkaz, že 1 se rovná a bez; 1 1.2 důkaz, že 1 je méně než 0 1.3 důkaz, že 2 se rovná 1

Příklady

Důkaz, že 1 se rovná a bez; 1

My začínáme

Pak my přeměníme tyto do zlomků

Aplikovat druhé odmocniny na obou stranách dá

Který je se rovnat k

Ale protože (viz imaginární číslo), my může náhrada, trvat

Tím, že přeskupí rovnici odstranit zlomky, my dostaneme

A protože, my proto máme

Q.E.D

Tento důkaz je neplatný od té doby, co to uplatňuje následující zásadu pro druhé odmocniny špatně:

Tento princip je jen správný když oba x a y být kladná čísla. V “důkazu” nahoře, jeden je záporné číslo, tak dělat celku invalidu důkazu.

Důkaz, že 1 je méně než 0

Nechal nás předpokládat to

Teď my vezmeme logaritmus na obou stranách. Jak dlouho jak x > 0, my můžeme dělat toto, protože logaritmy jsou monotonically rostoucí. Pozorovat to to logaritmus 1 je 0, my dostaneme

Podělit ln x dá

Q.E.D

Porušení je nalezené v posledním kroku, divize. Tento krok je špatný, protože číslo, kterým my podělíme je negativní, který podle pořadí je protože argument k logaritmu je méně než 1, náš předpoklad originálu. Násobení s nebo divize záporným číslem proletí znamení nerovnosti; jinými slovy, my bychom měli trvat 1 > 0, který je opravdu správný.

Důkaz, že 2 se rovná 1

Předpokládat to

Násobit dá

Odečítat dá

Factoring ven,

pak rušit společného činitele dá

Ale protože, my může náhrada pro

.

Jak je libovolný to může být zrušeno od obou stran, proto,

Q.E.D

Porušení je nalezené v kroku kde společný činitel je zrušen. Tento krok je špatný, protože ten faktor je rovný nule, a v rušit to, nevyslovený divize nulou je dělána. Toto zruší následující kroky a důkaz je už ne platný. Před tím posledním krokem, to může být říkal, že my jsme ukázali se jako x × 0 = 0.