Teorie invariantů

V matematice, teorie invariantů se odkazuje na studium neměnných algebraických forem (equivalently, symmetric tensors) pro akci lineárních transformací. Toto bylo hlavní pole studia ve druhém díle devatenáctého století, když to vypadalo jako ten pokrok v obzvláště tomto poli (ven nějakého množství možných matematických vyjadřování invariance s ohledem na symetrii) byl klíč algoritmická disciplína. Přes některé hrdinské snahy ten slib nebyl plný, jeden může říkat; ale mnoho záloh průvodního důsledku může být ukazováno k souviseli. Aktuální teorie se vztahovat k skupině symmetric a symmetric funkce, komutativní algebra, moduli prostory a reprezentace skupin lži jsou zakořenění v této oblasti.

Ve větším detailu, daný konečný-rozměrný vektorový prostor V my můžeme považovat symmetric za algebru S (V), a akce na tom GL (V). To je vlastně více přesný zvažovat projective reprezentaci GL (V), jestliže my budeme mluvit o invariants: to je, protože skalární násobek identity bude jednat podle tensor pozice r v S (V) přes r-síla th ' váha ' skalární. Bod je pak definovat subalgebra invariants já (V) pro (projective) akci. My jsme, v klasickém jazyce, dívat se na n-ary r-ics, kde n je rozměr V.

Tyto dny to by mohlo být více přirozené pro pohled rozložit míru r část S (V) do ireducibilních zobrazení GL (V): formulace právě daný je stejný jako pořekadlo my jsme zaujatí jen s výskytem jednorozměrných reprezentací. Reprezentace požadovaná teorie přišla potom, ačkoli, s Schur.

To je obvyklé říkat, že práce David Hilbert, ukazovat se abstraktně to já (V) byl finitely představovaný, dal zastavení klasické teorie invariantů. To je daleko od bytí pravdivý: klasická epocha v předmětu může pokračovali k finálním publikacím Alfreda Younga, víc než 50 roků pozdnější. Explicitní výpočty pro konkrétní účely byly známé v moderní době (například Shioda, s binárními octavics).

Moderní formulace geometrické teorie invariantů je způsobená Davidem Mumfordem, a zdůrazní konstrukci kvocientu skupinovou akcí, která by měla zachytit neměnné informace přes jeho prsten osy. To je důvtipná teorie, v tom úspěch je získán tím, že vyřadí některé ' špatný ' orbity a poznávat jiné s ' dobrý ' orbity. V odděleném vývoji symbolická metoda teorie invariantů, zřejmě heuristická combinatorial notace, byl rehabilitován.

Pro neměnnou teorii konečných skupin, viďte Molien série.