Kleene algebra

V matematice, Kleene algebra (pojmenoval podle Stephen Cole Kleene, prohlásil “jíl-kolena”) je jeden dvou jiných věcí:

• Ohraničený distribuční mříž s involucí uspokojující jistá práva slabší než ti pojit se s mříží-teoretické complementations. Tak každá Booleovská algebra je Kleene algebra, ale většina Kleene algebras není booleovské algebras.
• algebraická struktura to zevšeobecní operace znané od pravidelných výrazů. Zbytek tohoto článku se zabývá tímto ponětím o Kleene algebře.

Tabulka s obsahem

1 definice 2 příklady 3 vlastnosti 4 historie 5 odkazů

Definice

Různé inequivalent definice Kleene algebras a příbuzné struktury byli daní v literatuře. Vidět [1] pro průzkum. Tady my budeme dávat definici, která vypadá, že je nejvíce obyčejné nowadays.

Kleene algebra je soubor spolu s dva binární operace +: × a rarr; a ·: × a rarr; a jedna funkce *: a rarr; , psaný jak + b, ab a * příslušně, tak že následující axiómy jsou uspokojené.

• Associativity + a ·: + (b + c) = ( + b) + c a (bc) = (ab)c pro všechny , b, c v .
• Commutativity +: + b = b + pro všechny , b v
• Distributivity: (b + c) = (ab) + (ac) a (b + c) = (ba) + (ca) pro všechny , b, c v
• Elementy identity pro + a ·: Tam existuje element 0 v takový to pro všechny v : + 0 = 0 + = . Tam existuje element 1 v takový to pro všechny v : 1 = 1 = .
• 0 = 0 = 0 pro všechny v .

Nahoře axiómy definují semiring. My dále vyžadujeme:

• + idempotent: + = pro všechny v .

To je nyní možné definovat částečnou objednávku a le; na nastavením a le; b iff + b = b (nebo equivalently: a le; b iff tam existuje x v takový to + x = b). S touto objednávkou my můžeme vytvořit poslední dva axiómy o operaci *:

• 1 + (*) a le; * pro všechny v .
• 1 + (*) a le; * pro všechny v .
• jestliže a x být v takový ta sekyra a le; x, pak *x a le; x
• jestliže a x být v takový to xa a le; x, pak x(*) a le; x

Intuitivně, jeden by měl myslet na + b jako “odbor” nebo “nejméně horní spojený” a b a ab jako někteří násobení, které je monotonic, v pocitu, že a le; b implikuje sekyru a le; bx. Nápad za operátorem hvězdy je * = 1 + + aa + aaa +... Od hlediska programovací teorie, jeden může také tlumočit + jako “výběr”, · jako “sekvenční zpracování” a * jako “iterace”.

Příklady

Nechaný a Sigma; být konečná množina (“abeceda”) a nechaný být soubor všech pravidelných výrazů přes a Sigma;. My zvážíme to dva takové pravidelné výrazy se rovnají jestliže oni popíšou stejný jazyk. Pak tvoří Kleene algebru. Ve skutečnosti, toto je “volný” Kleene algebra v pocitu, že nějaká rovnice mezi pravidelné výrazy vyplývá z Kleene axiómy algebry a je proto platný v každé Kleene algebře.

Znovu nechaný a Sigma; být abeceda. Nechaný být soubor všech pravidelných jazyků přes a Sigma; (nebo soubor celého kontextu-uvolnit jazyky přes a Sigma;; nebo soubor všech rekurzivních jazyků přes a Sigma;; nebo soubor všech jazyky přes a Sigma;). Pak odbor (psaný jak +) a zřetězení (psaný jak ·) dvou elementů znovu patřit k , a tak dělá Kleene hvězdnou operaci aplikovanou k nějakému elementu . My dostaneme Kleene algebru s 0 být prázdná množina a 1 bytí soubor, který jen obsahuje prázdný řetězec.

Nechaný M být monoid s elementem identity e a nechaný být soubor všech podmnožin M. Pro dva takové podmnožiny S a T, nechaný S + T být odbor S a T a soubor ST = {st : s v S a t v T}. S* je definován jako submonoid M vytvořený S, který může být popisován jak {e} a pohár; S a pohár; SS a pohár; SSS a pohár;... Pak tvoří Kleene algebru s 0 bytím vyprázdnit soubor a 1 bytí {e}. Podobná stavba může být vykonávána pro některého malý kategorie.

Předpokládat M je soubor a je soubor všech binární relace na M. Brát + být odbor, · být složení a * být reflexivní tranzitivní trup, my dostaneme Kleene algebru.

Každá booleovská algebra s operacemi v a ^ se změní na Kleene algebru jestliže my používáme v pro +, ^ pro · a soubor * = 1 pro všechny .

Docela odlišná Kleene algebra je užitečná když počítá nejkratší pathss v posuzovaných orientovaných grafech: nechaný být prodloužená skutečná číselná linka, brát + b být minimum a b a ab být obyčejný součet a b (se součtem + a infin; a - a infin; být definován jak + a infin;). * je definován být nula reálného čísla pro nonnegative a - a infin; pro zápor . Toto je Kleene algebra s nulovým elementem + a infin; a jeden element nula reálného čísla.

Vlastnosti

Nula je nejmenší element: 0 a le; pro všechny v .

Součet + b je nejméně horní spojený a b: my máme a le; + b a b a le; + b a jestliže x je element s a le; x a b a le; x, pak + b a le; x. Podobně, ₁ +... + _n je nejméně horní skákat elementů ₁,..., _n.

Násobení a sčítání jsou monotonic: jestliže a le; b, pak + x a le; b + x, zrušit a le; bx a xa a le; xb pro všechny x v .

Pozorovat * operace, my máme 0 * = 1 a 1 * = 1, to * monotonic ( a le; b implikuje * a le; b*), a to ⁿ a le; * pro každé přirozené číslo n. Dále, (*) (*) = *, (*) * = *, a a le; b* jestliže a jediný jestliže * a le; b*.

Jestliže je Kleene algebra a n je přirozené číslo, pak jeden může zvažovat soubor M_n() sestávat ze všech n- -n matrices se záznamy v . Používat obyčejná ponětí o sčítání matice a násobení, jeden může vymezit jedinečný * - operace tak to M_n() se stane Kleene algebrou.

Historie

Kleene algebras nebyly definovány Kleene; on představil pravidelné výrazy a požádal o soubor axiómů, které by povolily odvodit všechny rovnice mezi pravidelné výrazy. Axiómy Kleene algebras vyřeší tento problém, jak byl nejprve ukazován Dexter Kozen.

Odkazy

1. Dexter Kozen: Na Kleene algebras a uzavřených semirings. v Rovan, editor, Proc. Matematika. Založte. Comput. Sci., hlasitost 452 poznámek přednášky v počítačové informatice, strany 26-47. Springer, 1990. Online u http://www.cs.cornell.edu/kozen/papers/kacs. ps