Lagrangian mechanici

Pro více moderní přístup, viďte Lagrangian.

Lagrangian mechanika je re-formulace klasické mechaniky představila Joseph Louis Lagrange v 1788. V Lagrangian mechanice, trajektorie objektu je odvozena tím, že najde cestu, která minimalizuje akci který je součet Lagrangian v průběhu doby; toto být kinetická energie bez potenciální energie.

Toto značně zjednoduší mnoho fyzikálních problémů. Například, zvažujte korálek na obruči. Jestliže jeden byl spočítat pohyb korálku používat Newtonian mechaniku, jeden by měl komplikovaný soubor rovnic, které by vzaly v úvahu síly že obruč působí na korálku v každém momentě.

Stejný používání problému Lagrangian mechanika je hodně jednodušší. Jedny pohledy na všechny možné pohyby že korálek mohl přijmout obruč a matematicky objeví jeden který minimalizuje akci. Tam být mnoho méně rovnic protože jeden není přímo vypočítavý vliv obruče na korálku v danou chvíli.

Tabulka s obsahem

1 Lagrangeovy rovnice 1.1 Hamiltonův princip 1.2 rozšíření Lagrangian mechaniky 2 odkazy 3 vidět také...

Lagrangeovy rovnice

Rovnice pohybu v Lagrangian mechanici jsou Lagrangeovy rovnice, také známý jak Euler-Lagrange rovnice. Dole, my nastíníme původ Lagrangeovy rovnice od Newtonových zákonů pohybu. Viďte odkazy pro více detailních a obecnějších původů.

Zvažovat jedinou částečku s hmotou m a umístit vektor r. Aplikoval sílu, F, moci být vyjádřen jako sklon skalární potenciální energetické funkce V(r, t):

Takový síla je nezávislá na třetině - nebo vyšší-objednávat deriváty r, tak Newtonovo druhé právo tvoří soubor 3 sekunda-objednávat obyčejné diferenciální rovnice. Proto, pohyb částečky může být kompletně popsaný 6 nezávislými proměnnými, nebo míry svobody. Zřejmý soubor proměnných je {r_j, r a připravit;_j | j = 1, 2, 3}, karteziánské komponenty r a jejich deriváty času, u daného časového okamžiku.

Více obecně, my můžeme pracovat se souborem celkových os a jejich deriváty času, celkové rychlosti: {q_j, qa připravit;_j}. r je příbuzný celkovým osám nějakou rovnicí transformace:

Zvažovat libovolné vysídlení a deltu;r částečky. práce hotový použitou sílou F je a delta; W = F · a delta;r. Používání Newton je druhé právo, my píšeme:

Protože práce je fyzická skalární veličina, my bychom měli být schopní přepsat tuto rovnici v podmínkách celkových os a rychlosti. Na straně levé ruky,

Strana pravé ruky je těžší, ale po některých míchat my trváme:

kde T = 1/2 m r a připravit; ² je kinetická energie částečky. Naše rovnice pro práci hotový se stojí

Nicméně, toto musí být pravdivé pro některého soubor celkového displacements a delty;q_i, tak my musíme mít

pro každého zevšeobecnil osu a deltu;q_i. My můžeme dále zjednodušit toto tím, že si všimne toho V je funkce pouze r a t, a r je funkce celkových os a t. Proto, V je nezávislý na celkových rychlostech:

Vkládat toto do předchozí rovnice a substituting L = T - V, my dostaneme Lagrangeovy rovnice:

Tam je jedna Lagrange rovnice pro každou celkovou osu q_i. Když q_i = r_i (tj. celkové osy jsou prostě kartézské souřadnice), to je přímé zkontrolovat, že Lagrangeovy rovnice sesadí na Newtonovo druhé právo.

Nahoře původ může být celkový k systému N částečky. Tam bude být 6N celkové osy, příbuzný osám pozice 3N rovnice transformace. V každém 3N Lagrange rovnice, T je úplná kinetická energie systému, a V úplná potenciální energie.

V praxi, to je často snadnější řešit problémové používání Euler-Lagrange rovnice než Newtonovy zákony. Toto je protože osvojit si celkové osy q_i smět být vybrán vykořisťovat symetrie v systému.

Hamiltonův princip

Akce, označil S, je čas základní Lagrangian:

Nechaný ₀ a ₁ být osy u respective parafovat a finální časy ₀ a ₁. Používat variační počet, to může být ukazováno Lagrangeovy rovnice jsou rovnocenné k Hamiltonův princip:

₀ a t₁ jehož akce má pevnou hodnotu.

pevný, my znamenáme, že akce se nemění k nejprve-objednávka nekonečně malých deformací trajektorie, s koncem-body (₀, ₀) a (₁,₁) fixovaný. Hamiltonův princip může být psán jak:

Tak, místo toho, aby myslel na zrychlování částeček v odezvě na použité síly, jeden by mohl myslet na je pozorovat cestu s pevnou akcí.

Hamiltonův princip je někdy odkazoval se na jako Princip nejmenšího účinku. Nicméně, toto je nesprávné pojmenování: akce jen potřebuje být pevný a správná trajektorie mohla být produkována jeden maximum, osedlat bod nebo minimum při práci.

Rozšíření Lagrangian mechaniky

Hamiltonian, označil H, je získán tím, že vykonává Legendre transformaci na Lagrangian. Hamiltonian je východisko pro formulaci alternativy klasické mechaniky známé jako Hamiltonian mechanici. Je to zvláště všudypřítomná kvantita v kvantové mechanice.

V 1948, Feynman vynalezl cestu základní formulace rozšiřovat princip nejmenšího účinku k kvantové mechanice. V této formulaci, částečky cestují po každé možné cestě mezitím parafovat a finále říká; pravděpodobnost přesného finálního státu je získána tím, že sčítá přes všechny možné trajektorie vést k tomu. V klasickém režimu, cesta základní formulace čistě reprodukuje Hamiltonův princip.

Odkazy

• Goldstein, H. Klasická mechanika, druhé vydání, pp.16 (Addison-Wesley, 1980)

Viz též...

• Noether teorém