Mříž

Tento článek je ne o filtrech mříže v zpracování digitálního signálu, který jsou elektronické filtry se zvláštní rekurzivní strukturou.

Oxford anglický slovník říká, že mříž je

Struktura vyrobená z laths, nebo dřevo nebo kov křížili se a upevňovali spolu, se zbylými nezastavěnými prostory mezi; použitý jako obrazovka, např. v okenních otvorech a jako; okno, brána, obrazovka, etc. tak postavený.

Oba matematických použití ošetřoval dole začínal jako metafory založené na tomto pojetí definovaném ve slovníku. V prvním případě, geometrické obrazy nejjednodušších mříží vypadají jako mříže ve smyslu definovaném slovníkem; ve druhém případě, Hasse diagramy posets se dívají (v některých jednoduchých případech) jako mříže aforementioned.

1. V matematice, mříž v Rⁿ je jednotlivý podskupina Rⁿ která rozpětí skutečný vektorový prostor Rⁿ. Každá mříž v Rⁿ moci být produkován z základu pro vektorový prostor tím, že zvažuje všechny lineární spolupráce s základními koeficienty.

Equivalently, mříž v Rⁿ je n-rozměrná přísada uvolnit skupinu přes Z který vytváří Rⁿ přes R.

Jednoduchý příklad mříže v Rⁿ je podskupina Zⁿ. Více komplikovaný příklad je Leech mříž, který je mříž v R²⁴.

Podobně, mříž v Cⁿ je jednotlivá podskupina Cⁿ která rozpětí 2n- rozměrný skutečný vektorový prostor Cⁿ. Například, Gaussian celá čísla tvoří mříž v C.

Toto pojetí je použito v vědě materiálů, ve kterém mříž je 3-rozměrný soubor pravidelně rozložených bodů se shodovat s atomem nebo molekulovými pozicemi v krystalu. Toto je zvláštní případ prvního významu daný nahoře.

To také se vyskytuje ve výpočetní fyzice, ve kterém mříž je n-rozměrná geometrická struktura míst, připojený svazky, který reprezentovat pozice, které mohou být zabírány atomy, molekuly, elektrony, se točí, etc. Pro článek se zabývat formální reprezentací takových struktur vidět Mříž Geometries.

Viz též Minkowski teorém.

Více obecně, mříž a gama; v Skupině lži G je jednotlivá podskupina, takový to G/ a gama; je konečné míry, pro míra na tom zdědila od Haar míry na G (odešel-neměnný, nebo pravý-neměnný - definice je nezávislá na tom výběru).

2. V dalším matematickém použití, mříž je částečně spořádaný soubor ve kterém všichni nonempty konečný podmnožiny mají nejméně horní spojený a největší nižší spojený (také volal supremum a infimum, příslušně). Termín “mříž” přijde z tvaru Hasse diagramů takových objednávek (viz částečně spořádaný soubor).

Mříž může také být algebraicky definovaná jako soubor L, spolu s dva binární operace ^ a v (prohlásil setkat se a spojit se, příslušně), takový to pro některého , b, c v L,

v =	^ =	idempotency práva
v b = b v	^ b = b ^	commutativity práva
v (b v c) = ( v b) v c	^ (b ^ c) = ( ^ b) ^ c	associativity práva
v ( ^ b) =	^ ( v b) =	práva absorbce

Jestliže dvě operace vyhoví těmto algebraickým pravidlům pak oni definují částečnou objednávku L chápáním pravidla: b jestliže a jediný jestliže v b = b, nebo, equivalently, ^ b = . L, spolu s částečnou objednávkou

Naopak, jestliže objednávka-teoretická mříž (L, v b pro nejméně horní spojený {, b} a ^ b pro největší nižší spojený {, b}, pak (L, v, ^) uspokojí všechny axiómy algebraicky definované mříže.

třída všech mříží tvoří kategorii jestliže my definujeme homomorphism mezi dvěma mřížemi (L, ^, v) a (N, ^, v) být funkce f : L -> N takový to

f( ^ b) = f() ^ f(b)

f( v b) = f() v f(b)

pro všechny , b v L. bijective homomorphism jehož inverzní je také homomorphism je nazýván izomorfismem mříží a dvě zaujaté mříže jsou volány isomorphic.

Tabulka s obsahem

1 vlastnosti mříží
2 důležitá mříž-teoretické pojmy
3 literatura

Vlastnosti mříží

Mříž je řekl, aby byl ohraničený jestliže to má největší element a nejméně elementu. Největší element je často označován 1 a nejméně elementu 0. Jestliže x je prvek ohraničené mříže pak nějaký element y mříže uspokojující x ^ y = 0 a x v y = 1 je nazýván doplňkem x. Ohraničená mříž ve kterém každém živlu má (ne nutně jedinečný) doplněk je nazýván doplňovanou mříží.

Mříž ve které každé podmnožině (včetně nekonečných) má supremum a infimum je nazýván kompletní mříží. Kompletní mříže jsou vždy ohraničené. Mnoho z nejdůležitějších mříží být kompletní. Příklady obsahují:

podmnožiny daného souboru, objednal zahrnutím. Supremum je dán odborem a infimum křižovatkou podmnožin.
pauza jednotky [0, 1] a prodloužená skutečná číselná linka, se známou úplnou objednávkou a obyčejný suprema a infima.
Non-negativní celá čísla, objednal dělitelností. Supremum je dáván nejméně společného násobku a infimum největším společným dělitelem.
Podskupiny skupiny, objednal zahrnutím. Supremum je dán podskupinou vytvořenou spojením skupin a infimum je dán křižovatkou.
Submodules modulu, objednal zahrnutím. Supremum je dán sumou submodules a infimum křižovatkou.
ideály prstenu, objednal zahrnutím. Supremum je dán sumou submodules a infimum křižovatkou.
Otevřené soubory prostoru topological, objednal zahrnutím. Supremum je dán spojením otevřených souborů a infimum vnitřkem křižovatky.
konvexní podmnožiny skutečný nebo komplex vektorový prostor, objednal zahrnutím. Infimum je dán křižovatkou konvexních souborů a supremum konvexním trupem odboru.
topologie na scéně, objednal zahrnutím. Infimum je dán křižovatkou topologií a supremum topologií vytvářel spojením topologií.
Mříž všichni tranzitivní binární relace na scéně.
Mříž celého náhradníka-multisets multiset.
Mříž všichni rozdělí souboru.

Knaster-Tarski teorém říká, že soubor fixovaných bodů monotónní funkce na kompletní mříži je znovu kompletní mříž.

Mříž submodules modulu a mříž normálních podskupin skupiny mají zvláštní vlastnost to x v (y ^ (x v z)) = (x v y) ^ (x v z) pro všechny x, y a z v mříži. Mříž s touto vlastností je nazývána modulární mříží. Stav modularity může také být řeknut takto: Jestliže x z pak pak pro všechny y my máme identitu x v (y ^ z) = (x v y) ^ z.

Mříž je volána distribuční jestliže v rozděluje přes ^, to je, x v (y ^ z) = (x v y) ^ (x v z). Equivalently, ^ rozděluje přes v. všechny distribuční mříže jsou modulární. Dva důležité druhy distribučních mříží jsou totálně spořádané soubory a Booleovské algebras (jako mříž všech podmnožin daného souboru). Mříž přirozených čísel, objednal dělitelností, je také distribuční. Mříž je řekl, aby byl úplně distribuční jestliže nahoře distributivity právnické držení pro libovolný (nekonečný) setká se a spojí se. Distribuční mříže jsou používány formulovat nesmyslnou topologii.

Důležitá mříž-teoretické pojmy

Ve sledování, nechaný L být mříž.

Podmnožina F L je nazýván filtrovým iff

F je horní soubor, tj. v F, b v L a a le; b implikovat b v F,
F je uzavřený dolů konečný setká se, tj. v F a b v F implikovat ^ b v F.

Filtr je pořádné iff to neobsahuje všechny elementy L.

filtr ředitele je soubor formy {x a ge; | x v L} pro některé v L. Takové soubory jsou vždy filtry v nad smyslem.

primární filtr je filtr F s dalším vlastnictvím to pro všechny elementy a b v L, jestliže vb v F pak jeden v F nebo b v F. Filtr kde toto zevšeobecní k libovolný (nekonečný) se připojí k Va_i je volán kompletně připravit.

maximal filtr je pořádný filtr F takový že není tam žádný pořádný filtr, který obsahuje F. Tyto soubory jsou někdy nazvané ultrafilters. V booleovské algebře, hlavní filtry jsou přesně ultrafilters.

Pojmy ideál, pořádný ideál, hlavní ideál, a primární ideál, etc. být získán tím, že vymění “a le;” a “a ge;”, “^” a “v”, a “setkat se” a “spojit se” v nad definicemi. Tak, ideály jsou dvojí ponětí o filtrech. Nicméně, tam je ne “krajní-ideál”.

Element x L je volán spoj-nesnížitelný iff

x = v b implikuje x = nebo x = b pro některého , b v L,
jestliže L má 0, x je někdy požadovaný být různý od 0.

Když první podmínka je celková k libovolným spojům Va_i, x je volán kompletně spojit se-nesnížitelný. Dvojí pojem je volán setkat se-irreducability. Někdy jeden také používá termíny v-nesnížitelný a ^ - nesnížitelný, příslušně.

Element x L je volán spoj-připravit iff

x v b implikuje x a le; nebo x a le; b.

Znovu, toto může být celkové dostat pojem kompletně spojit se-připravit a dualized k výnosu setkat se-připravit. Některý setkat se-primární element je také setkat se-nesnížitelný. Jestliže mříž je distribuční hovořit je také pravdivý.

Literatura

B. A. Davey, H. A. Priestley: Úvod k mřížím a objednávce. Cambridge univerzita Press, 2002. (ISBN 0521784514)