Algebra lži
V matematice, Algebra lži (prohlásil jak “lee”, pojmenovaný ve cti Sophus lži) je algebraická struktura jehož hlavní užívací lži v studovat geometrické objekty takový jak Skupiny lži a differentiable manifolds.| Tabulka s obsahem |
| 1 definice 2 příklady 3 Homomorphisms, Subalgebras a ideály 4 klasifikace lži Algebras |
Algebra lži je vektorový prostor g přes nějaké pole F (typicky skutečný nebo komplexní čísla) spolu s binární operací [·, ·]: g × g -> g, volal Hranatou závorku lži, který uspokojí následující vlastnosti:
- to je bilinear, tj., [x + b y, z] = [x, z] + b [y, z] a [z, x + b y] = [z, x] + b [z, y] pro všechny , b v F a všichni x, y, z v g.
- to uspokojí Jacobi identitu, tj., [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0 pro všechny x, y, z v g.
- [x, x] = 0 pro všechny x v g.
Každý vektorový prostor se stane (poněkud nezajímavou) lží algebra jestliže my definujeme hranatou závorku lži být totožně nula.
Euclidean prostor R3 se stane algebrou lži s podpěrou lži danou křížem-produkt vectorss.
Jestliže asociativní algebra s násobením * je dáván, to může být obrácené do algebry lži tím, že vymezí [x, y] = x * y a bez; y * x. Tento výraz je nazýván commutator x a y. Naopak, to může být ukazováno že každá algebra lži může být vložena do jednoho to se vynoří z asociativní algebry v této módě.
Jiné důležité příklady algebras lži přijdou z rozdílné topologie: vektorová pole na differentiable různý tvořit nekonečnou rozměrnou lživou algebru; pro dva vektorová pole X a Y, hranatá závorka lži [X, Y] je definován
- [X, Y] f = (XY a bez; YX) f pro každou funkci f na různý
Vektorový prostor odešel-neměnná vektorová pole na Skupině lži je zavřen pod touto operací a je proto konečná rozměrná lživá algebra. Jeden může alternativně myslet na základovou vektorovou dobu algebry lži patřit ke skupině lži jako prostor tangenty u skupinového identitního elementu. Násobení je diferencovanost skupiny commutator, (,b) | - > abaa bez; 1ba bez; 1, u elementu identity.
Jako konkrétní příklad, zvažovat lež seskupit SL (n,R) všichni n- -n matrices se skutečnými záznamy a determinantem 1. Prostor tangenty u identitní matice může být poznán s dobou všech skutečně n- -n matrices se stopou 0, a algebra lži příchod struktury od skupiny lži shoduje se s jeden se vynořit z commutators maticového násobení.
Pro více příkladů skupin lži a jejich sdruženého lživého algebras, viďte Lživý skupinový článek.
Homomorphisms, Subalgebras a ideály
homomorphism a phi;: g -> h mezi algebras lži g a h přes stejné základní pole F je F- lineární mapa takový to [a phi; (x), a phi; (y)] = [x, y] pro všechny x a y v g. Složení takového homomorphisms je znovu homomorphisms a lež algebras přes pole F, spolu s těmito morphisms, tvořit kategorii. Jestliže takový homomorphism bijective, to je nazýváno izomorfismema dvěma lživými algebras g a h být nazýván isomorphic. Pro všechny praktické cíle, isomorphical algebraas lži jsou totožné.
subalgebra algebry lži g je lineární subspace h g takový to [x, y] a isin; h pro všechny x, y a isin; h. Subalgebra je pak sám algebra lži.
ideál algebry lži g je subspace h g takový to [, y] a isin; h pro všechny a isin; g a y a isin; h. Všechny ideály jsou subalgebras. Jestliže h je ideál g, pak prostor kvocientu g/h se stane algebrou lži tím, že vymezí [x + h, y + h] = [x, y] pro všechny x, y a isin; g. Ideály jsou přesně jádra homomorphisms a základní teorém na homomorphisms je platný pro algebras lži.
Skutečný a komplexní lživý algebras může být klasifikovaný do nějakém rozsahu a tato klasifikace je důležitý krok ke klasifikaci skupin lži. Každý konečný-rozměrný skutečná nebo komplexní lživá algebra vyvstává jako algebra lži nějaké skutečné nebo komplexní lži seskupit (teorém povyku), ale tam smět být víc než jedna skupina dokonce i víc než jedna spojená skupina, dávat se zvednout ke stejné algebře. Například, skupiny tak (3) (3 × 3 orthogonal matrices determinanta 1) a Su (2) (2 × 2 nečleněné matrices determinanta 1) oba dají svah stejné lživé algebře, jmenovitě R3 s křížem-produkt.
Algebra lži je abelian jestliže hranatá závorka lži zmizí, tj. [x, y] = 0 pro všechny x a y. Více obecně, algeba lži g nilpotent jestliže nižší centrální série
- g > [g, g] > [[g, g], g] > [[[g, g], g], g] >...
- inzerát (u) (v) = [u, v]
- g > [g, g] > [[g, g], [g,g]] > [[[g, g], [g,g]], [[g, g], [g,g]]] >...
Algebra lži g je volán polořadovka-jednoduchý jestliže jediný rozpustitelný ideál g je triviální. Equivalently, g je polořadovka-jednoduchý jestliže a jediný jestliže Forma zabíjení K(u,v) = tr (inzerát (u) inzerát (v)) non-degenerovat; tady tr naznačuje operátora stopy. Když pole F je charakteristické nuly, g je polořadovka-jednoduchý jestliže a jediný jestliže každá reprezentace je kompletně reducible, to je pro každý neměnný subspace reprezentace je neměnný doplněk (Weyl teorém).
Algebra lži je jednoduchá jestliže to má žádné non-triviální ideály. Zvláště, jednoduchá lživá algebra je polořadovka-jednoduchý, a více obecně, polořadovka-jednoduché lživé algebras jsou přímé sumy těch jednoduchých.
Polořadovka-jednoduché komplexní lživé algebras jsou klasifikované přes jejich kořenové systémy.
Viz též superalgebra, anyonic algebru lži