Limitovat (matematiku)

V matematice, pojetí”limit” je používán popisovat chování funkce, jak jeho argument dostane se “blízko” k jeden nějaký bod, nebo infinity; nebo chování sekvence' s elementy, jak jejich index se přiblíží infinity. Limity jsou použity v počtu (a jiná odvětví matematické analýzy) definovat deriváty a souvislost.

Pojetí “limitu funkce” je dále celkové k představě o síti topological, zatímco limit sekvence je blízko příbuzný limitu a přímému limitu v teorii kategorie.

Tabulka s obsahem

1 limit funkce 1.1 limit funkce na místě 1.2 limit funkce u infinity 2 limit sekvence 3 Topological síť 4 limit v teorii kategorie

Limit funkce

Hlavní článek: limit funkce

Limit funkce na místě

Předpokládat f(x) je skutečná funkce a c je reálné číslo. Jestliže hodnoty f(x) přístup (přiblížit se k, ale nutně nesahají) číslo L, jak x přístupy c, jeden může říct to “limit f(x), jak x přístupy c, je L” a psát

Například: f(x) =x/ (x²+ 1). f(1.9) = 0.4121, f(1.99) = 0.4012; f(1.999) = 0.4001. Jak x přístupy 2, f(x) přístupy 0.4 a od této doby my jsme lim_{x a rarr; 2} f(x) = 0.4.

V tomto lim případu_{x a rarr; 2} f(x) =f(2) a f je spojitý u x= 2. Ale to není vždy případ, zvážit to

Pak lim_{x a rarr; 2} g(x) a ne;g(2) a tak g je ne spojitý u x= 2.

Limit funkce u infinity

Jeden nemusí zkoumat limity jen jak x approches nějaké konečné číslo; jeden může také zkoumat limit, funkce, jak x přístupy infinity. Například f(x) = 2x / x+ 1. f(100) = 1.9802, f(1000) = 1.9980, f(10000) = 1.9998. Jak x stane se extrémně velký, f(x) přístupy 2. V tomto případě:

Nicméně, jestliže jeden zvažuje codomain f je rozšíření reálná osa pak limit funkce u infinity mohl být považován za zvláštní případ limitu funkce na místě.

Limit sekvence

Hlavní článek: limit sekvence

Zvažovat následující sekvenci: 1.79, 1.799, 1.7999,... My jsme mohli poznamenat, že čísla “se přiblíží” 1.8, limit sekvence.

Formálně, předpokládat x₁, x₂,... je sekvence reálných čísel. My říkáme, že reálné číslo L je limit této sekvence a my píšeme

jestliže a jediný jestliže

pro každý a epsilon; > 0 tam existuje přirozené číslo n₀ (který závisí na a epsilon;) takový to pro všechny n>n₀ my máme |x_n - L|

Intuitivně, toto znamená, že nakonec všechny prvky sekvence dostanou jak se zavřou, zatímco my chceme k limitu, od absolutní hodnoty |x_n - L| moci být interpretován jako “vzdálenost” mezi x_n a L. Ne každá sekvence má mez; jestliže to dělá, my voláme to konvergentní, jinak odlišný. Jeden může ukázat, že konvergentní sekvence má jen jednu mez.

Limit sekvence a limit funkce jsou blízko příbuzní. Na jedné straně, limit sekvence je prostě limit u infinity funkce definované na přirozených číslech. Na jiné zemi, limit funkce f u x, jestliže to existuje, je stejný jako limit sekvence x_n=f(x+ 1 /n).

Topological síť

Hlavní článek: síť (topologie)

Lepší úvod je potřebován

Všichni nahoře ponětí o limitu mohou být sjednocená a celková k libovolný prostory topological tím, že představí topological sítě a definovat jejich limity. Článek o sítích pracuje na tomto.

Alternativa je představa o limitu pro filtry na prostorech topological.

Limit v teorii kategorie

Hlavní článek: limitovat (teorii kategorie)

Úvod bude přidaný brzy.