Limit pořadový

limit pořadový je řadová číslovka který není nástupce pořadový (značné tvrzení existuje na zda nebo ne 0 should být klasifikovaný jako limit pořadový, jak to nemá předchůdce; mnoho matematiků vyžaduje, aby takové ordinals byl nekonečný). Intuitivně, tito jsou řadové číslovky, které nemohou být podávány přes pořadovou nástupní operaci.

V přesných termínech, my říkáme a lambda; je limit pořadový jestliže pro některého a alpha; S(a alpha;)

Protože třída řadových číslovek je dobře-objednal, tam je nejmenší nekonečný limit pořadový; a my označujeme toto a omega;. a omega; je také nejmenší nekonečný pořadový (zapomínat limit), jak to je nejméně horní spojený přirozených čísel. Proto a omega; reprezentuje typ objednávky přirozených čísel. Příští limit pořadový nahoře první je a omega; + a omega; = a omega; 2, a pak my máme a omega;n pro některého n přirozené číslo. Brát odbor ( supremum operace na některém zapadla ordinals) celá a omega; n, my dostaneme a omega; a omega; = a omega;² (více na pořadové aritmetice u hlavní řadová číslovka vstup). A my můžeme zůstat běžní a běžní, dostávat

Obecně, všichni těchto rekurzivních definic přes násobení, umocňování, opakovalo umocňování, etc. mez tekutosti ordinals. A dokonce tito jsou jen počitatelné ordinals; to je známý fakt že není tam žádné rekurzívně enumerable schéma jmenovat jen celý počitatelný ordinals! První uncountable pořadový je obvykle označován a omega;₁ a je také limit pořadový.

A my se nezastavíme tam: my máme (všichni tito zvětší se v mohutnosti nyní!):

Obecně, my vždy dostaneme limit pořadový když vezme spojení souboru ordinals, který má žádný maximální element.

Termín limit pochází z používání objednávka topologie na řadových číslovkách; ordinals limitu si odpovídají přesně k hromadným bodům v této topologii.

Třídy ordinals nástupce a limit ordinals (a jestliže vy trváte na limitu ordinals být nekonečný, nula) vyčerpat celou třídu ordinals tak tyto případy být často používán v důkazech přerušením transfinite nebo definicích rekurzí transfinite. Ordinals limitu jsou obvykle druh “bodu obratu” ve kterém my musíme používat omezené operace takový jak brát odbor přes všechny předchozí ordinals (technicky my jsme mohli dělat něco u limitu ordinals, ale brát odbor je spojitý v topologii objednávky a obvykle toto je co my chceme).

Jestliže my používáme Von Neumann hlavní úkol, každý nekonečný kardinální číslo je také limit pořadový (a toto je vhodné pozorování, zatímco kardinál pochází z latin cardo znamenat pant nebo bod obratu!): důkaz tohoto faktu je dělán tím, že prostě ukazuje toho každého nástupce pořadový je equinumerous k limitu pořadový přes Hotel Infinity argument.

Kardinální čísla mají jejich vlastní ponětí o successorship a limit (všechno dobývání aktualizované k vyšší úrovni!). Více u kardinála limitu.