Lineární nezávislost

V lineární algebře, soubor prvků vektorového prostoru je linearly nezávislý jestliže žádný z vectorss v soubor může být psán jako lineární kombinace finitely mnoho jiných vektorů v souboru. Například, v trojrozměrný Euclidean prostor R³, tři vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1) být linearly nezávislý, zatímco (2, - 1, 1), (1, 0, 1) a (3, - 1, 2) být ne (protože třetí vektor je součet první dva). Vektory, které nejsou linearly nezávislé jsou volány linearly závislý.

Tabulka s obsahem

1 definice 2 příklad já 3 příklad II 4 příklad III: (požadovaný počet)

Definice

Nechaný V být vektorový prostor přes pole K. jestliže v₁,v₂,..,v_n jsou elementy V, my říkáme, že oni jsou linearly závislí přes K jestliže tam existovat elementy₁,a₂,..,a_n v K ne všichni rovný nule takový to:

nebo, více výstižně:

(Poznamenat, že nula vpravo je nulový element v V, ne element nuly v K.)

Jestliže tam neexistují elementy takového pole, pak my říkáme, že v₁,v₂,...,v_n být linearly nezávislý. Nekonečná podmnožina V je řekl, aby linearly nezávislou osobu jestliže všichni jeho konečné podmnožiny jsou linearly nezávislé.

To zaměří definici na lineární nezávislost, my můžeme říkat, že vektory v₁,v₂,..,v_n být linearly nezávislý, jestliže a jediný jestliže následující podmínka je uspokojená:

Kdykoli₁,a₂,...,a_n jsou elementy K takový to:

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = 0

pak_i = 0 pro všechny i = 1, 2,..., n.

Představa o lineární nezávislosti je důležitá protože soubor vektorů který je nezávislá osoba linearly a rozpětí nějaký vektorový prostor, tvoří základ pro ten vektorový prostor.

Příklad já

Ukazovat to vektory (1, 1) a (- 3, 2) v R² jsou linearly nezávislé.

Důkaz:

Nechaný, b být dva reálná čísla takový to:

a(1,1) + b(-3,2) = (0,0)

Pak:

(- 3b, + 2b) = (0, 0) a

-3b = 0 a + 2b = 0.

Platit pro a b, my najdeme to = 0 a b = 0.

Příklad II

Nechaný V =Rⁿ a zvažovat následující elementy v V:

e₁ = (1,0,0,...,0)

e₂ = (0,1,0,...,0)

...

e_n = (0,0,0,...,1)

Pak e₁,e₂,...,e_n jsou linearly nezávislé.

Důkaz:

Předpokládat, že₁, a₂, ,a_n jsou elementy Rⁿ takový to

a₁e₁ + a₂e₂ + ... + a_ne_n = 0

Protože

a₁e₁ + a₂e₂ + .. + a_ne_n = (a₁,a₂,..,a_n)

pak_i = 0 pro všechny i v {1,.., n}.

Příklad III: (požadovaný počet)

Nechaný V být vektorový prostor všech funkcí skutečné proměnné t. pak funkce e^t a e^2t v V být linearly nezávislý.

Důkaz:

Předpokládat a b jsou dvě reálná čísla taková to

ae^t + být^2t = 0   (1)

pro všechny hodnoty t. My potřebujeme ukazovat to = 0 a b = 0. Aby dělal toto,

my rozlišujeme rovnice (1) dostat

ae^t + 2be^2t = 0   (2)

který také drží pro všechny hodnoty t.

Odečítat první vztah od druhého vztahu, my trváme:

být^2t = 0

a, tím, že se zapojuje t = 0, my dostaneme b = 0.

Od prvního vztahu my pak dostaneme:

ae^t = 0

a znovu pro t = 0 my objevíme = 0.

lineární závislost mezi vektory v₁,...,v_n je vektor (₁,...,_n) s n skalární komponenty, ne celá nula, takový to ₁v₁+... +_nv_n= 0. Jestliže takový lineární závislost existuje, pak n vektory jsou linearly závislé. To dává smysl poznat dva lineární dependences jestliže jeden vyvstává jako non-nula rozmanitý jiný, protože v tomto případě dva popisovat stejný lineární vztah mezi vektory. Pod touto identifikací, soubor všech lineárních dependences mezi v₁,...., v_n je projective prostor.

Viz též:

• orthogonality