Lineární transformace

V matematice, lineární transformace (také volal lineárního operátora nebo lineární mapu) je funkce mezitím dva vektorové prostory to respektuje aritmetické operace sčítání a skalární násobení vymezili na vektorových prostorech, nebo, jinými slovy, to “chrání lineární kombinace”.

Tabulka s obsahem

1 definice a první důsledky 2 příklady a matrices 3 tvořit nové lineární transformace od daných 4 Endomorphisms a automorphisms 5 jádra a obraz

Definice a první důsledky

Formálně, jestliže V a W jsou vektorové prostory přes stejný základ pole K, my říkáme, že f : V a rarr; W je lineární transformace jestliže pro nějaké dva vektory x a y v V a některý skalární v K, my máme

Toto je ekvivalentní k pověsti, že f “chrání lineární kombinace”, tj., pro nějaké vektory x₁,..., x_m a scalars ₁,..., _m, my máme

Občas, V a W moci být považován za vektorové prostory přes různá země chytá a to je pak důležité specifikovat kterého pole bylo užité na definici “lineární”. Jestliže V a W být považován za prostory přes pole K jak je uvedeno výše, my mluvíme o K- lineární mapy. Například, konjugace komplexních čísel je R- lineární mapa C a rarr; C, ale to není C- lineární.

Příklady a matrices

Jestliže V a W být konečný rozměrný a základy byly vybrány, pak každá lineární transformace od V k W moci být reprezentován jako matice; toto je užitečné, protože to dovolí betonové vypočítavosti. Naopak, matrices dají příklady lineárních transformací: jestliže je skutečný m- -n matice, pak pravidlo f(x) = Sekyra popisuje lineární transformaci Rⁿ a rarr; R^m (viz Euclidean prostor).

Tam jsou také důležité příklady lineární transformace zahrnovat nekonečný-dimenzionální prostory. Například, základní výnosy lineární mapa od doby všech skutečný-oceněný integrable funguje na nějaké pauze k R, zatímco rozdílnost je lineární transformace od doby všech funkcí differentiable k době všech funkcí.

Tvořit nové lineární transformace od daných

Složení lineárních transformací je lineární: jestliže f : V a rarr; W a g : W a rarr; Z být lineární, pak tak je g o f : V a rarr; Z.

Jestliže f₁ : V a rarr; W a f₂ : V a rarr; W být lineární, pak tak je jejich součet f₁ + f₂ (který je definován (f₁ + f₂) (x) = f₁(x) + f₂(x)).

Jestliže f : V a rarr; W je lineární a je prvek země pole K, pak mapa af, definovaný (af) (x) = (f(x)), je také lineární.

V konečném rozměrném případě a jestliže základy byly vybrány, pak složení lineárních map odpovídá rozmnožování matrices, přidání lineárních map si odpovídá ot přidání matrices a rozmnožování lineárních map s scalars odpovídá rozmnožování matrices s scalars.

Endomorphisms a automorphisms

Lineární transformace f : V a rarr; V je endomorphism V; soubor celého takového endomorphisms konce (V) spolu se sčítáním, složením a skalárním násobením jak definovaný nahoře tvoří asociativní algebru s elementem identity přes pole K (a zvláště prsten). Identitní prvek této algebry je identitní mapa id: V a rarr; V.

bijective endomorphism V je nazýván automorphism V. Složení dvou automorphisms je znovu automorphism a soubor všech automorphisms V tvoří skupinu, automorphism skupina V který je označován Aut (V) nebo GL (V).

Jestliže V má konečnou velikost n, pak skončit (V) je isomorphic k asociativní algebře všichni n n matrices se záznamy v K. Automorphism skupina V je isomorphic k obecné lineární skupině GL (n, K) všichni n n invertible matrices se záznamy v K.

Jádro a obraz

Jestliže f : V a rarr; W je lineární, my definujeme jádro a obraz f

ker (f) je subspace V a im (f) je subspace W. Sledování rozměrového vzorce je často užitečné:

matný (ker (f)) + matný (im (f)) = matný (V)

Číslo matný (im (f)) je také nazvaný pozice f a psaný jak rk (f). Jestliže V a W být konečný rozměrný, základy byly vybrány a f je reprezentován maticí \, pak pozice f je stejný s řadou matice .