Logistická mapa

logistická mapa je příklad archetypical jak velmi složitý, chaotické chování může vzniknout z velmi jednoduchý nelineární dynamical rovnice. Mapa byla propagována biologem Robert May v 1976. To bylo původně děláno jak velmi jednoduchý model pro populační množství druhů v přítomnosti omezujících faktorů takový jako dodávka potravin nebo nemoc, obsahovat dvě příčinné smyčky:

• náležitý k reprodukci populace bude růst v poměru proporcionální k aktuální populaci
• náležitý k hladovění, obyvatelstvo bude narůstat u míry úměrné hodnotě trval tím, že bere teoretický “nosnost” životního prostředí méně aktuální populace.

Matematicky toto může být psáno jak

(1)     ,

kde:

x_n je číslo mezitím nulové a jedno, a reprezentuje populaci u roku n, a od této doby x₀ reprezentuje počáteční populaci (u roku 0)

r je kladné číslo, a reprezentuje spojenou míru pro reprodukci a hladovění.

Tabulka s obsahem

1 chování závislý na r 2 chaos a logistická mapa 3 vnější spojení

Chování závislý na r

Tím, že mění parametr r, vyplývající chování je sledováno:

• S r mezi 0 a 1, obyvatelstvo nakonec zahyne, nezávislý na počáteční populaci.
• S r mezi 1 a 2, vůle populace rychle se stabilizovat na jediné hodnotě; tato hodnota závisí na r ale nezávisí na počáteční populaci.
• S r mezi 2 a 3, vůle populace také nakonec se stabilizovat na jediné hodnotě, ale nejprve osciluje kolem té hodnoty na nějakou dobu. Znovu, konečná hodnota nezávisí na počáteční populaci
• S r mezi 3 a 1 + a radic; 6 (přibližně 3.45), populace bude oscilovat mezi dvěma hodnotami navždy. Tyto dvě hodnoty jsou závislé na r ale nezávislý na počáteční populaci.
• S r mezi 3.45 a 3.54 (přibližně), populace bude oscilovat mezi čtyřmi hodnotami navždy; znovu, toto chování nezávisí na počáteční populaci.
• S r mírně větší než 3.54, populace bude oscilovat mezi 8 hodnotami, pak 16, 32, etc. Délky parametrových pauz, které dávají stejné množství oscilací sníží se rychle; poměr mezi délkami dva postupný takové pauzy bifurkace se blíží k Feigenbaum konstantě a deltě; = 4.669. Všichni těchto chování nezávisí na počáteční populaci.
• U r = 3.57 (přibližně) je počátek chaosu. My můžeme už ne vidět nějaké oscilace. Nepatrné změny v počáteční populaci přinesou dramaticky odlišné výsledky v průběhu doby, primární charakteristika chaosu.
• Většina hodnot za 3.57 projevit chaotické chování, ale tam být ještě jistý izolovaný r to zjevit se non přehlídky-chaotické chování; například kolem 3.82 tam je rozsah parametrů r která oscilace přehlídky mezi třemi hodnotami, a pro mírně vyšší hodnoty r oscilace mezi 6 hodnotami, pak 12 etc. Tam jsou jiné rozsahy, které dávají oscilaci mezi 5 etc hodnot.; všechna období oscilace přece nastávají. Tato chování jsou znovu nezávislá na počáteční hodnotě.
• Za r = 4, hodnoty nakonec opustí pauzu [0, 1] a rozcházet se pro téměř všechny počáteční hodnoty.

diagram bifurkace shrne toto. Horizontální osa prokáže hodnoty parametru r zatímco vertikální osa prokáže možné dlouhodobé hodnoty x.

Diagram bifurkace je fraktál: jestliže vy se zaměříte na nahoře se zmínil o hodnotě r = 3.82 a zájem o jednu paži tři, říkat, situace poblíž dívá se právě jako se scvrkl a mírně zdeformoval verzi celého diagramu. Stejný je pravdivý pro všechny jiné non-chaotické body. Toto je příklad hluboké a všudypřítomné spojitosti mezi chaosem a fraktály.

GNU oktávový skript tvořit bifurkaci diagramy mohou být najity v popisu nad obrazem.

Chaos a logistická mapa

Jednoduchost příbuzného logistické mapy dělá tomu vynikající bod vstupu do zvážení pojetí chaosu. Tvrdý druh chaosu je ten exponát chaotických systémů velká citlivost k počátečním podmínkám -- vlastnictví logistické mapy pro většinu hodnot r mezi o 3.57 a 4 (jak známý nahoře). Obyčejný zdroj takové citlivosti na počáteční podmínky je že mapa reprezentuje opakované drážkování a roztahování prostoru na kterém to je definováno. V případě logistické mapy, kvadratický diferenční rovnice (1) popisovat to smět být myšlenka jako roztahování-a-rozkládací operace na pauze (0, 1).

Následující číslo objasní streching a drážkování přes sekvenci opakuje mapy. Číslo (), odešel, dá dvojrozměrný fázový diagram logistické mapy pro r= 4, a jasně ukazuje kvadratickou křivku diferenční rovnice (1). Nicméně, my můžeme vložit stejný sekvence v trojrozměrném fázovém prostoru, aby vyšetřoval hlubší strukturu mapy. Číslo (b), pravý, dokazuje toto, představení jak zpočátku blízké body začnou se rozcházet, zvláště v těch oblastech X_t odpovídající strmějším částem spiknutí.

()

Toto roztahování-a-drážkování jen neprodukuje postupnou odlišnost sekvencí opakuje, ale exponenciální odlišnost (viz Lyapunov exponenty), dokazovaný také složitostí a unpredictability chaotické logistické mapy. Ve skutečnosti, exponenciální odlišnost sekvencí opakuje vysvětlí spojení mezi chaosem a unpredictability: malá chyba v předpokládaném počátečním stavu sytem bude inklinovat odpovídat velké chybě později v jeho evoluci. Proto, předpovědi o státech budoucnosti stanou se postupně (opravdu, exponenciálně) horší když tam jsou dokonce velmi malé chyby v našich znalostech počátečního stavu.

Poznámka, nicméně že tento unpredictability je ne stejný jako náhodnost: jestliže my jsme přece měli dokonalý (to je, chyba- volný) znalosti počátečního stavu a systém, my jsme mohli (v principu, daný také zpřístupňovat k dokonalý počítání) být schopný říct bezchybná proroctví o nějakém státě budoucnosti. Systém je nepředvídatelný, protože znalosti a výpočet jsou (v praxi) vždy podřízený nějaké míře chyby a nějaké chybě v měření nebo počítání, bez ohledu na to jak malý, stane se exponenciálně v našich předpovědích. Větší správnost a preciznost se zlepší predicitions budoucích států, ale v chaotické systémy typu popsaly nahoře, přesné a přesné předpovědi o stavu systému v libovolně vzdálené budoucnosti mohou nikdy být dělány. To kontrastuje, předpovědi o náhodném procesu vždy obsahují nějakou chybu dokonce i danou znalost počátečního stavu a počítání to být bez chyby.

To je často možné, nicméně, udělat přesná a přesná prohlášení o pravděpodobnosti budoucího státu v chaotickém systému. Jestliže (možná chaotický) dynamical systém má attractor, pak tam existuje míra pravděpodobnosti to dává dlouhodobou proporci času stráveného systémem v různých oblastech attractor. V případě logistické mapy s parametrem  r = 4 a počáteční stav v (0, 1), attractor je také pauza (0, 1) a míra pravděpodobnosti odpovídá distribuci bety s parametry   = 0.5 a  b = 0.5. Unpredictability není náhodnost, ale za nějakých okolností dívá se velmi hodně jako to. Proto, a naštěstí, dokonce jestliže my víme to velmi málo o počátečním stavu logistické mapy (nebo nějaký jiný chaotický systém), my můžeme ještě říkat něco o distribuci států dlouhý čas do budoucnosti, a používat tyto znalosti, aby oznámil decisionss založené na stavu systému. Veškerá naděje je ne prohrál v chaotickém světě.

Pro další informace vidět článek Teorie chaosu.

Externí odkazy

• Dan Marthaler: Logistická mapa, http://mathpost.la.asu.edu/ ~ daniel/logistic. html . Obsáhne interaktivní modelování na počítačích logistické mapy a také povolí se zaměřit na diagram bifurkace.
• Další interaktivní simulace: http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/7959/logisticmap. html
• Logistický model. An neobvyklý, ačkoli přímý, jávská simulace.
• Vznik chaosu. Slavná bifurkace diagram je spojen interactively k iteracím na parabole.