Lp prostor

V funkční analýze, ^p prostors tvořit důležitou třídu příkladů Banach prostorů a topological vektorových prostorů.

Tabulka s obsahem

1 definice 2 některé užitečné zvláštní případy 3 další vlastnosti

Definice

My začínáme pozitivní reálné číslo p a prostor míry S a zvažovat soubor všech měřitelných funkcí od S k C (nebo R) jehož absolutní hodnota k p- th síla má konečný Lebesgue základní. Poznávat dvě takové funkce jestliže oni jsou se rovnat téměř všude, my dostaneme soubor L^p(S). Pro f v L^p(S), my vymezíme

Prostor L^{a infin;}(S), zatímco příbuzný, je definován rozdílně. My začínáme souborem všech měřitelných funkcí od S k C (nebo R) který být skákal téměř všude. Tím, že pozná dvě takové funkce jestliže oni jsou se rovnat téměř všude, my dostaneme soubor L^{a infin;}(S). Pro f v L^{a infin;}(S), my jsme zapadli

Některé užitečné zvláštní případy

Nejdůležitější případ je když p = 2, prostor L² je Hilbert prostor, to má důležitá použití k Fourier sérii a kvantové mechanice

Jestliže jeden si vybere S být pauza jednotky [0, 1] s Lebesgue mírou, pak odpovídat si L^p prostor je označován L^p([ 0, 1 ]). Pro p f : [0, 1] a rarr; C (nebo R) tak to |f|^p má konečný základní, znovu s funkce, které jsou rovnají se téměř všude být poznán. Prostor L^{a infin;}([ 0, 1 ]) sestává ze všech měřitelných funkcí f : [0, 1] a rarr; C (nebo R) takový to |f| je skákal téměř všude, s funkce, které jsou rovnají se téměř všude být poznán. Prostory L^p(R) být definován podobně.

Jestliže S je soubor přirozených čísel, s mírou počítání, pak odpovídat si L^p prostor je označován l ^p. Pro p _n) čísel takový to a součet;_n |_n|^p je konečný. Prostor l^{a infin;} je soubor všech ohraničené sekvence.

Další vlastnosti

Jestliže 1 a le; p a le; a infin;, pak Minkowski nerovnost, dokázaný používat Hölder nerovnost, založí nerovnost trojúhelníku v L^p(S). Používat teorémy sbližování pro Lebesgue základní, jeden může pak ukazovat to L^p(S) je kompletní a od této doby Banach prostor. (tady to je rozhodující, že Lebesgue základní je zaměstnán, a ne Riemann základní.)

dvojí prostor (doba všech spojitých lineárních functionals) L^p pro 1 p q kde q je takový to 1 /p + 1 /q = 1. Protože tento vztah je symmetric, L^p je reflexivní pro tyto hodnoty p: předurčený člověk monomorfismus od L^p k (L^p)^** je na, to je, to je izomorfismus Banach prostorů. Jestliže míra na S je sigma-konečný, pak dvojí L¹(S) isomorphic k L^{a infin;}(S).

Jestliže 0 p p moci být definován jak je uvedeno výše, ale to nebude být prostor Banache, zatímco nerovnost trojúhelníku nedrží obecně. Nicméně, my můžeme ještě vymezit metrický nastavením d(f,g) = (| |f-g| |_p)^p. Výsledný metrický prostor je kompletní, a L^p pro 0 p F-prostor to není místně konvexní.