Modelová teorie
V matematice, modelovat teorii je studie o reprezentaci matematických představ v podmínkách teorie množinnebo studiu modelů které underlie matematické systémy. To předpokládá, že tam jsou někteří pre-existing matematické objekty venku, a položí otázky pozorovat jak nebo co může být dokázané daný objekty, některé operace nebo vztahy mezi objekty a soubor axiómů.
Nezávislost axioma výběru a hypotézy kontinua od jiných axiómů teorie množin (dokázaný Paul Cohen a Kurt Gödel) dva nejslavnější výsledky se vynoří z teorie modelu. To bylo dokázané že jak axiom výběru tak jeho negace jsou shodní s Zermelo-Fraenkel axiómy teorie množin; stejný výsledek drží pro hypotézu kontinua. Tyto výsledky jsou díl Axiomatické teorie množin, zvláštní aplikace teorie modelu.
Příklad představ o teorii modelu je poskytován teorií reálných čísel. My začínáme souborem jednotlivců, kde každý jednotlivec je reálné číslo a soubor vztahů a/nebo funguje, takový jak {×, +, -,., 0, 1}. Jestliže my položíme otázku takový jak “a existovat; x (x × x = 1 + 1)” v tomto jazyce, pak to je jasné, že věta je pravdivá pro reals - tam je takový reálné číslo x; pro rationals, nicméně, věta je falešná. Naopak, “a existovat; x (x × x = 0 - 1)” je falešný v reals - dělat to pravdivý my můžeme přidat konstantní symbol i a nový axióm”i × i = 0 - 1”, který dá nám komplexní čísla.
Teorie modelu je pak zaujatá s co je provable uvnitř daných matematických systémů a jak tyto systémy se vztahují ke každému jiný. To je zvláště zaujaté čím se stane když my pokusíme se rozšířit nějaký systém přidáním nových axiómů nebo nové jazykové pojmy.
Model je formálně definovaný v souvislosti s nějakým jazykem L, následovat Tarski představu o pravdě. Model sestává ze dvou věcí:
- soubor vesmíru U který obsahuje všechny předměty zájmu (#rquotedoména projevu”), a
- mapování od L k U (nazýval ohodnocení mapováním nebo funkcí výkladu) který má jako jeho doména celá konstanta, tvrdit a fungovat symboly v jazyce.
Úplnost v teorii modelu je definována jako vlastnost to každé sdělení v jazyce nebo jeho opaku je provable od nějaké teorie. Kompletní teorie jsou žádoucí od té doby, co oni popíšou úplně nějaký model.
teorém kompaktnosti řekne to soubor vět S satisfiable, tj., má model, jestliže každá konečná podmnožina S satisfiable. V souvislosti s teorií důkazu podobné sdělení je triviální od té doby, co každý důkaz může mít jen konečné množství předchůdců používaných v důkazu; v souvislosti s teorií modelu nicméně, tento důkaz je poněkud těžší. Jsou tam dva dobře známé důkazy, jeden Gödel (který jde přes důkazy) a jeden Malcev (který je přímější).
Teorie modelu je znepokojena logikou triangulace prvního řádua k logice triangulace prvního řádu všichni kardinálové se dívají stejný. Toto je vyjádřeno v Lowenheim-Skolem teorémy - který říct to nějaká teorie s nekonečným modelem má modely všech nekonečných mohutností (přinejmenším to jazyka) který souhlasit s na všech větách - oni jsou “ekvivalent elementarily”.
Tak zvláště, teorie množin (jehož jazyk je počitatelný) má počitatelný model - toto je známé jako Skolem paradox, ačkoli to je pravdivé! Vidět proč to byla myšlenka paradoxní, zvažovat, že tam jsou věty v teorii množin který postulovat existenci souborů uncountable - a tyto věty jsou pravdivé v našem počitatelném modelu.
TODO - Vaughtův test. Rozšíření, Embeddings a diagramy. Dodat chuti, zmiňovat se o hyperreals by byl dobrý. (všichni tito potřebují značnou náplň ven)
Poznámka: nespojený termín 'matematický model' je také použité informally v jiných částech matematiky a věda.
Viz též:
- Teorie důkazu
- Hyperreals
- Teorém kompaktnosti
- Popisná složitost