Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Modulární aritmetika

Modulární aritmetika je upravený systém aritmetiky pro celá čísla, někdy odkazoval se na jak 'aritmetika hodin', kde čísla ' se zalomit kolem ' po oni dosáhnou jisté hodnoty ( modulus). Například, zatímco 8 + 6 se rovná 14 v tradiční aritmetice, v modulu 12 aritmetiky odpověď je 2, jak 2 je zbytek po dělení 14 modulus 12.

Tabulka s obsahem
1 definice modula
2 aplikace modulární aritmetiky
3 shodné modulo
4 vnější zdroje

Definice modula

Jestliže je některý celé číslo a n je pozitivní celé číslo, my píšeme mod n pro zbytek v {0,..., n- 1} to nastane jestliže je rozdělen n. Například, 23 mod 12 = 11 (vypočítavosti mod 12 jsou jaké jedny laně když změní čas od 24 hodin hodiny k 12 hodin hodiny).

V některých programovacích jazycích, tato operace je psána jak % n.

Implementace ' mod ' fungovat

V praxi x mod y moci být spočítán rovnicemi používání, v podmínkách ostatních funkcí. Rozdíly vyvstanou shodovat se k rozsahu proměnných, který v obyčejných implementacích je širší než v definici právě daný.

V podmínkách podlahové funkční podlahy (z), největší celé číslo méně než nebo se rovnat k z:

x mod y = x - y * podlaha (x/y).

V podmínkách truncation k celé části (známý jak zůstat () na několika kalkulačkách a vždy pozitivní; hrál C je vestavěný % operátor):

x mod y = x - y * iPart (x/y)

V případě podlahy, dělitel záporu vyústí v negativní modulus (například, pod touto definicí, 1 mod - 2 = - 1). Výsledná funkce je co je znáno jak mod () na kalkulačkách a je realizován v některých vysokoúrovňových jazycích, včetně Perl. Perl také používá % operátor ukázat modulus operaci, zmiňovat se o / operátor divize.

Obě definice počítají s x a y být psán jako celá čísla nebo racionální čísla.

Výraz x mod 0 je undefined ve většině numerických systémů, ačkoli někteří přece definují to být x.

Aplikace modulární aritmetiky

Modulární aritmetika, nejprve systematicky studoval Carl Friedrich Gauss u konce osmnáctého století, je aplikován v teorii čísel, abstraktní algebře, kryptografiia vizuálním a hudebním umění.

Základní aritmetické operace vykonávané většinou počítači jsou vlastně modulární aritmetika, kde modulus je 2b (b být množství kousků hodnot být operován). Toto přijde ke světlu v kompilaci programovací jazyky takový jak C; kde například aritmetické operace na “int” celých číslech jsou všechny zaujaté modulo 232, na většině počítačích.

V hudbě, protože oktáva a enharmonic equivalency (to je, se připojí 1/2 nebo 2/1 poměr být rovnocenný, a C # je stejný jako Db), modulární aritmetika je použita v zvážení dvanácti tónu stejně temperované měřítko, obzvláště v dvanácti tónu hudba. Ve vizuálním umění modulární aritmetika může být používána tvořit umělecké struktury založené na násobení a sčítání modulo stolů n [1].

Shodné modulo

My voláme dvě celá čísla , b shodné modulo n, psaný jak

a equiv; b (mod n) jestliže jejich rozdíl a bez; b je dělitelný n, tj. jestliže a bez; b = kn pro nějaké celé číslo k.

Používat tuto definici, my můžeme zevšeobecnit k non-základní moduli. Například, my můžeme vymezit a equiv; b (mod a pi;) jestliže a bez; b = ka pi; pro nějaké celé číslo k. Tento nápad je vyvinut v plný v souvislosti s teorií prstenu dole.

Tady je příklad zápisu shodnosti.

14 a equiv; 26 (mod 12).
Toto je vztah rovnocennostia třída rovnocennosti celého čísla je označován []n (nebo jednoduše [] jestliže modulus n je dohodnutý.) jiné notace obsahují + nZ nebo mod n. Soubor všech tříd rovnocennosti je označován Z/nZ = { [0]n, [1]n, [2]n,..., [n- 1]n }.

Jestliže a b být celá čísla, shodnost

zrušit a equiv; b (mod n)
má řešení x jestliže a jediný jestliže největší společný dělitel (, n) předěly b. Detaily jsou zaznamenány v lineární teorém shodnosti. Více komplikované soustavy soudobého návěstění congruences s různými moduli mohou být řešil používání Číňan remainder teorém nebo metoda postupné náhrady.

Tento vztah rovnocennosti má důležité vlastnosti, které následují bezprostředně od definice: jestliže

1 a equiv; b1 (mod n) a    2 a equiv; b2 (mod n)
pak
1 + 2 a equiv; b1 + b2 (mod n)
a
12 a equiv; b1b2 (mod n).

Toto ukáže, že sčítání a násobení jsou přesně stanovené operace na souboru tříd rovnocennosti. Jinými slovy, sčítání a násobení jsou definováni na Z/nZ sledováním vzorců:Tímto způsobem, Z/nZ se stojí komutativní prsten s n elementy. Například, v kruhu Z/ 12Z, my máme
[8]12[3]12 + [6]12 = [30]12 = [6]12.

V abstraktní algebře, to je pochopil tu modulární aritmetiku je zvláštní případ tváření prsten faktoru modula prstenu ideál. Jestliže R je komutativní prsten, a Já je ideál R, pak elementy a b R být shodné modulo jestliže a bez; b je element Já. Jak s kruhem celých čísel, toto dopadá být vztah rovnocennosti, a sčítání a násobení se stanou přesně stanovenými operacemi na prstenu faktoru R/Já.

V kruhu celých čísel, jestliže my považujeme rovnici za sekyru a equiv; 1 (mod n), pak my vidíme to má násobení inverzní jestliže a jediný jestliže a n coprime. Proto, Z/nZ je pole jestliže a jediný jestliže n je připravit. To může být ukazováno že každé konečné pole je rozšíření Z/pZ pro některé připravit p.

Důležitý fakt o moduli prvočísla je Fermat malý teorém: jestliže p je prvočíslo a je některý celé číslo, pak

p a equiv; (mod p).
Toto bylo celkové Euler: pro nějaké pozitivní celé číslo n a nějaké celé číslo to je relativně připravit k n,
a phi; (n) a equiv; 1 (mod n),
kde a phi; (n) označí Euler je a phi; fungovat počítat celá čísla mezi 1 a n to jsou coprime k n. Eulerův teorém je důsledek Teoréma Lagrangea, platil o skupině jednotek prstenu Z/nZ.

Vnější zdroje