Monoid

monoid je pár (M, *), kde M je soubor a * je binární operace na M, dodržovat následující pravidla:

1. uzavření: pro všechny , b v M, *b je v M (toto je naznačeno ponětím o binární operaci, a nepotřebuje být vyžadován odděleně)
2. identita: tam existuje element e v M, takový to pro všechny v M, *e = e* = .
3. associativity: * je asociativní operace; to je, pro všechny , b, c v M, (*b) *c = * (b*c)

Jinými slovy, monoid je semigroup s elementem identity.

Některé příklady monoids:

• přirozená čísla se sčítáním jak operací (element identity nula), nebo s násobením jak operací (element identity jeden).
• Prvky některého unitary prsten, se sčítáním nebo násobením jako operace.
  • celá čísla, racionální čísla, reálná čísla nebo komplexní čísla, se sčítáním nebo násobením jako operace
  • Soubor všech n n matrices přes daný (nečleněný) prsten, s maticovým sčítáním nebo maticovým násobením jako operace.
• Nějaká skupina.
• Soubor všech konečný řetězce (včetně prázdného řetězce) přes nějakou fixovanou abecedu a Sigma;, s zřetězením řetězce jako operace. Prázdný řetězec slouží jako element identity. Tento monoid je označován a Sigma;^* teoretickými počítačovými vědci a nazvaný “uvolnit monoid přes a Sigma;” matematiky.
• Vybírat si předmět kategorie a zvažovat soubor všech morphisms od tohoto objektu k sobě, se složením jak operací. Některé příklady od známých kategorií obsahují:
  • Soubor všech funguje od souboru k sobě, se složením jak operací (identita je identitní mapa.
  • Soubor všech nepřetržitých selfmaps prostoru topological, se složením jak operací.
  • Soubor všech endomorphisms fixované skupiny, se složením jak operací.
• Opravit monoid M, a zvažovat jeho elektrický soubor P(M) sestávat ze všech podmnožin M. Binární operace takových podmnožin může být definována S * T = {s * t : s v S a t v T}. Toto se otočí P(M) do monoid s elementem identity {e}.

Přímo z definice, jeden může ukazovat to element identity e je jedinečný. Pak to je možné definovat elementy invertible: element x je nazýván invertible jestliže tam existuje element y takový x*y = e a y*x = e. To dopadá že soubor všech invertible elementy, spolu s operací *, tvoří skupinu. V tom smyslu, každý monoid obsahuje skupinu.

Nicméně, ne každý monoid sedí uvnitř skupiny. Například, to je dokonale možné mít monoid ve kterém existovat dva elementy a b a takový to *b = držení dokonce ačkoli b je ne element identity. Takový monoid nemůže být zasazený ve skupině, protože ve skupině my jsme mohli násobit obě strany s nepřímou úměrností a by dostal to b = e, který není pravdivý. Monoid (M, *) má vlastnictví zrušení (nebo cancellative) jestliže pro všechny , b a c v M, *b = *c vždy obsahuje b = c a b* = c* vždy obsahuje b = c. Komutativní monoid s vlastnictvím zrušení může vždy být zasazený ve skupině. To je jak celá čísla (skupina s operací +) být postaven z přirozených čísel (komutativní monoid s operací + a vlastnictví zrušení). Nicméně, non-komutativní cancellative monoid nemusí být embeddable ve skupině.

Jestliže monoid má vlastnost zrušení a je konečný, pak to je ve skutečnosti skupina.

Inverzní monoid, je monoid kde pro každý v M, tam existuje jedinečný^-1 v M takový to = aa^-1a^-1=a^-1aa^-1.

To je možné prohlížet si kategorie jak zevšeobecňování monoids: složení morphism v kategorii sdílí všechny vlastnosti monoid operace kromě toho ne všechny páry morphisms mohou být složeny. Mnohé definice a teorémy o monoids mohou také být daní pro kategorie.