Naivní teorie množin
Naivní teorie množin je rozlišována od axiomatické teorie množin faktem to bývalý pozoruje soubory jak sbírky objektů, volal elementy nebo členy souboru, zatímco latter pozoruje soubory jediný jako to který uspokojí axiómy. Jméno je možná odvozeno z titulu Paul Halmos knihy Naivní teorie množin. Soubory jsou velké důležitosti v matematice; ve skutečnosti, v moderní formální léčbě, celá mašinerie čisté matematiky (čísla, vztahy, funguje, etc.) je definován v podmínkách souborů.Tento článek bude dávat krátký úvod do naivní teorie množin. Viz též Jednoduché teorémy v teorii množin.
Úvod
Naivní teorie množin byla vyvinuta na konci 19. století (hlavně Georg Cantor a Frege) aby dovolil matematikům práci s nekonečnými množinami souhlasně.
Jak to dopadalo, předpokládat, že jeden mohl vykonávat nějaké operace na souborech bez omezení vedeného k paradoxům takový jako Russellův paradox. V odezvě, axiomatická teorie množin byla vyvinuta stanovit přesně jaké operace byly dovoleny a když. Dnes, když matematici mluví o “teorii množin” jako pole, oni obvykle znamenají axiomatickou teorii množin, ale když oni mluví o teorii množin jako pouhý nástroj být aplikován na jiná matematická pole, oni obvyklý znamenat naivní teorii množin.
Axiomatická teorie množin může být docela těžko pochopitelná a přesto má malý účinek na obyčejnou matematiku. Tak, to je užitečné pro soubory studia v originálním naivním smyslu aby vyvinul zařízení pro pracovat s nimi. Dále, dobré pochopení naivní teorie množin je důležité jako první stádium v pochopení motivace pro axiomatickou teorii.
Tento článek rozpracuje naivní teorii. My začneme tím, že definuje informally souborů a vyšetřuje nemnoho jejich vlastností. Spojení v tomto článku ke specifickým axiómům teorie množin poukážou na některé ty vztahy mezi neformální diskuzí tady a formální axiomatization teorie množin, ale my děláme žádný pokus ospravedlnit každé sdělení na takový základ.
V naivní teorii množin, soubor je popisován jako sbírka objektů. Ty objekty, které patří k souboru jsou nazývány jeho členy. Jako objekty my dovolíme něco: čísla, lidi, jiné soubory... Například, 4 je člen souboru všech dokonce i celých čísel. Jak vy vidíte, my dovolíme souborům být nekonečný.
Jestliže x je člen A, pak my také říkáme to x je element A, nebo to x patří k A, nebo to x je v A, nebo to A vlastní x. V tomto případě, my píšeme x a isin; A. (Symbol “a isin;” je původ od Dopisu Řeka epsilon, “a epsilon;”, představený Peano v 1888.)
My definujeme dva soubory být se rovnat když oni mají přesně stejný elementy. (vidět axióm extensionality.) tak soubor je kompletně určen jeho elementy; popis je bezvýznamný. Například, soubor s elementy 2, 3, a 5 je stejný se souborem všech prvočísel méně než 6. Jestliže A a B být se rovnat, pak toto je označováno symbolicky jak A = B (jako obvykle).
My také počítáme s prázdná množina, soubor bez nějakých členů vůbec. Protože soubor je určován úplně jeho elementy, tam moci jen být jedna prázdná množina. (vidět axióm prázdné množiny.)
Nejjednodušší způsob, jak popisovat soubor má vypsat jeho elementy mezi složenýma závorkami. Tak {1, 2} označuje soubor jehož jediné elementy jsou 1 a 2. (vidět axióm pára.) si všimnout následujících bodů:
- Pořadí elementů je bezvýznamné; například, {1, 2} = {2, 1}.
- Opakování elementů je vedlejší; například, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}.
My můžeme také používat notaci {x : P(x)} (nebo někdy {x | P(x)}) naznačovat soubor obsahovat všechny objekty pro kterého podmínka P držení. Například, {x : x je reálné číslo} označuje soubor reálných čísel, {x : x mají blonďaté vlasy} označuje soubor všeho s blonďatými vlasy, a {x : x je pes} označuje soubor {psi} všech psů.
Tento zápis je volán”souborová stavitelská notace” (nebo”chápání souboru”, zvláště v souvislosti s Funkčním programováním). Některé varianty souborového stavitelského zápisu jsou:
- {x a isin; A : P(x)} označuje soubor všech x A takový to podmínka P držení pro x. Například, jestliže Z je soubor celých čísel, pak {x a isin; Z : x je dokonce} je soubor všech dokonce celá čísla. (vidět axióm specifikace.)
- {F(x) : x a isin; A} označuje soubor všech objektů získaných členy umístění souboru A do rovnice F. Například, {2x : x a isin; Z} je znovu soubor všech dokonce i celá čísla. (vidět axióm nahrazení.)
- {F(x) : P(x)} je nejvíce obecná forma souboru notace stavitele. Například, {x' s vlastník: x je pes} je soubor všech majitelů psa.
Podmnožiny
Daný dva soubory A a B my říkáme to A je podmnožina B, jestliže každý element A je také element B. Si všimnout toho zvláště, B je podmnožina sebe; podmnožina B to není se rovnat k B je volán správný.
Jestliže A je podmnožina B, pak jeden může také říkat to B je superset A, nebo to A je obsahoval v B, nebo to B obsahuje A. V symbolech, A a sube; B znamená to A je podmnožina B, a B a supe; A znamená to B je superset A. Někteří autoři používají symboly “a náhradník;” a “a popíjet;” pro podmnožiny, a jiní používají tyto symboly jen pro pořádné podmnožiny. V této encyklopedii, “a sube;” a “a supe;” být užitý na chvíli podmnožin “a náhradník;” a “a popíjet;” být rezervován pro vlastní podmnožiny.
Jako ilustrace, nechaný A být soubor reálných čísel, nechaný B být soubor celých čísel, nechaný C být soubor zvláštních celých čísel, a nechaný D být soubor proudu nebo bývalý Američtí prezidenti. Pak C je podmnožina B, B je podmnožina A, a C je podmnožina A. Si všimnout toho ne všechny soubory jsou srovnatelné tímto způsobem. Například, to není případ jeden to A je podmnožina D ani to D je podmnožina A.
Univerzální soubory a absolutní doplňky
V jistých kontextech my můžeme zvažovat všechny našich souborů jako jsoucí podmnožiny nějakého daného univerzálního souboru. Například, jestliže my vyšetřujeme vlastnosti reálných čísel (a soubory reals), pak my můžeme brát R, soubor všech reals, zatímco naše univerzálie zapadla. To je důležité uvědomit si, že univerzální soubor je jen přechodně definovaný kontextem; není tam žádná taková věc, zatímco “univerzální” univerzálie zapadla, “soubor všeho” (vidět Paradoxy dole).
Daný soubor univerzálie U a podmnožina A U, my můžeme definovat doplněk A (v U) jak
- A' := {x a isin; U : ne (x a isin; A)},
Sbírka {A : A a sube; U} všech podmnožin daného vesmíru U je volán elektrický soubor U. (vidět axióm elektrického souboru.) to je označováno P(U);”P#rquote je někdy v přepychovém čele.
Křižovatky, odbory a doplňky příbuzného
Daný dva soubory A a B, my můžeme postavit jejich odbor. Toto soubor sestává ze všech objektů, které jsou elementy A nebo B nebo oba (vidí axióm odboru). To je označováno A a pohár; B. křižovatka A a B je soubor všech objektů, které jsou oba v A a v B. To je označováno A a čepice; B. Konečně, doplněk příbuzného B absolutní k A, také známý jako ustálený teoretický rozdíl A a B, je soubor všech objektů, které patří k A ale ne k B. To je psáno jak A \\ B. Symbolicky, tito jsou příslušně
- A a pohár; B: = {x : (x a isin; A) nebo (x a isin; B)};
- A a čepice; B := {x : (x a isin; A) a (x a isin; B)} = {x a isin; A : x a isin; B} = {x a isin; B : x a isin; A};
- A \\ B := {x : (x a isin; A) a ne (x a isin; B) } = {x a isin; A : ne (x a isin; B)}.
Objasnit tyto nápady, nechaný A být soubor leváků, a nechaný B být soubor lidí s plavými vlasy. Pak A a čepice; B je soubor všech levoruce blonďatý-haired lidi, zatímco A a pohár; B je soubor všech osob, které jsou levoruké nebo blonďaté-haired nebo oba. A \\ B, na druhé straně, je soubor všech osob, které jsou levoruké ale ne blonďatý-haired, zatímco B \\ A je soubor všech lidí, kteří mají světlé vlasy ale jsou ne levoruký.
Nyní nechat E být soubor všech lidí, a nechaný F být soubor všech živých věcí přes 1000 roků starý. Co je E a čepice; F v tomto případě? Žádný člověk je u konce 1000 roků starý, tak E a čepice; F muset být prázdná množina {}.
Dané objekty a a b spořádaný pár obsahovat a a b je označován (a,b). Pro bytí času my vezmeme toto jako primitivní pojem (ale vidět také Objednával pár). To je, my přijmeme to (a,b) má vlastnost to jestliže (a,b) = (x,y), pak a = x a b = y. Objekty a a b být volán příslušně první a podporovat komponenty (a,b). Nyní, daný dva soubory A a B, my vymezíme jejich Kartézský součin být
- A × B = {(a,b) : a je v A a b je v B}.
My můžeme rozšířit tuto definici na soubor A × B × C objednal se trojnásobí, a více obecně k souborům objednal n- n-tice pro nějaké pozitivní celé číslo n. To je dokonce možné definovat nekonečné kartézské součiny, ale dělat toto my potřebujeme více málo známou definici produktu.
Kartézské součiny byly nejprve rozvinuté René Descartes v kontextu analytické geometrie. Jestliže R označuje soubor všech reálných čísel, pak R2 : = R × R reprezentuje Euclidean letadlo a R3 : = R × R × R reprezentuje trojrozměrný Euclidean prostor.
My jsme odkazovali dříve k potřebě formálního, axiomatického přístupu. Jaké problémy vznikají v léčbě my jsme dali? Problémy se vztahují k vytvoření souborů. Něčí první intuice by mohla být to my můžeme tvořit nějaké soubory, které my chceme, ale tento pohled vede k rozporuplnostem. Pro nějaký soubor my můžeme se zeptat zda x je člen sebe. Vymezit
- Z = {x : x je ne člen x}.
Trest je mnohem těžší vývoj. Zvláště, to je problematické mluvit o souboru všeho, nebo být (možná) kousek méně ambiciózní, dokonce soubor všech zapadne. Ve skutečnosti, v standard axiomatisation teorie množin, není tam žádný soubor všech souborů. V oblastech matematiky to vypadat, že vyžaduje soubor všech souborů (takový jako teorie kategorie), jeden může někdy dělat potřebovat soubor univerzálie tak velký to všichni obyčejná matematika může být dělána uvnitř toho (vidět vesmír (matematika)). Jinak, jeden může použít pořádné classeses. Nebo, jeden může používat různý axiomatisation teorie množin, takový jak W. V. Quine' s nové základy, který počítá se souborem všech souborů a se vyhýbá Russellovu paradoxu v další cestě. Přesné rozhodnutí upotřebilo zřídka dělá konečný rozdíl.
- Začátky teorie množin stránkují u St. Andrews