Non-Euclidean geometrie
| Tabulka s obsahem |
| 1 popis 2 historie 3 odkaz 4 vnější spojení 5 vidět také |
Termín non-Euclidean geometrie popisuje oba hyperbolic a elliptic geometrie, který být kontrastoval s Euclidean geometrií. Podstatný rozdíl mezi Euclidean a non-Euclidean geometrie je povaha paralelních linek. V Euclidean geometrii, jestliže my začínáme bodem a linka l, pak my můžeme jen udělat jednu čáru přes to je paralelní k l. V hyperbolické geometrii, kontrastem, tam je nekonečně mnoho linek přes paralelní k l, a v geometrii elliptic, rovnoběžky neexistují. (vidět záznamy na hyperbolické geometrii a elliptic geometrii pro další informace.)
Další způsob, jak popisovat rozdíly mezi těmito geometries je takto: zvažovat dvě linky v letadle to jsou oba svislý ke třetí lince. V Euclidean a hyperbolická geometrie, dvě linky jsou pak paralelní. V Euclidean geometrii, nicméně, linky zůstanou u konstanty vzdálenost, chvíle v hyperbolické geometrii oni “křivka pryč” od sebe navzájem, zvýšení jejich vzdálenosti jako jeden se pohybuje dál od průsečíku s obyčejný svislý. V geometrii elliptic, linky “křivka k” každý jiný, a nakonec protínat; proto žádné rovnoběžky existují v geometrii elliptic.
Chování linek s obyčejný svislý v každém tří druhů geometrie
Zatímco Euclidean geometrie (pojmenovaný pro Řeka matematik Euclid) zahrnuje některé nejstarší známé matematiky, non-Euclidean geometries nebyly široce přijímané jak legitimní až do 19. století. Debata, která nakonec vedla k objevu non-Euclidean geometries začal téměř, jakmile Euclid je práce Elementy byl psán. V Elementech, Euclid pokoušel se založit úplně logické východisko pro matematiku známý až do jeho éry. V tak dělat, on začal omezeným množstvím předpokladů (volal axiómy a postuláty) a snažil se se ukázat jako všechny jiné výsledky (problémy) v práci. Nejvíce notoricky známý postulátů je často odkazoval se na jak “Euclid je pátý postulát,” nebo jednoduše”vyrovnat se postulátu”, který v Euclidově originále formulace je:
- “Jestliže rovný řádek se vrhne na dvě přímky v takový způsob že vnitřní úhly na stejné straně jsou spolu méně než dva pravé úhly pak přímky, jestliže produkoval indefinitely, setkat se na té straně na kterém jsou úhly méně než dva pravé úhly.”
Pro několik sto roků, geometři byli ustaraní různorodou složitostí pátého postulátu, a věřil to mohlo být dokázané jako teorém od jiný čtyři. Mnoho se pokusil najít důkaz rozporem, nejvíce pozoruhodně Ital Giovanni Gerolamo Saccheri. V práci titulovaný Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid odstranil všechny vady), publikoval v 1733, on rychle odhodil elliptic geometrii jako možnost (někteří jiní Euclidovy axiómy musí být upraveny pro geometrii elliptic k práci) a pustil se do práce ukazovat se jako velké množství výsledků v hyperbolické geometrii. On nakonec došel na místo kde on věřil, že jeho výsledky demonstrovaly rozpor v systému, tak ukazovat, že hyperbolická geometrie je logicky rozporuplná. Jeho požadavek rozporuplnosti se zdá k byli založení na Euclidean presuppositions, protože žádný takový rozpor byl přítomný.
Sto roků pozdnější, v 1829, Rus Nikolai Ivanovich Lobachevsky vydával pojednání hyperbolické geometrie. Z tohoto důvodu, hyperbolická geometrie je někdy nazývána Lobachevskian geometrií. O stejném čase, Maďarština Janos Bolyai také napsal pojednání na hyperbolické geometrii, který byl vydáván v 1832 jako apendix k jeho práci otec je. Velký matematik Karl Friedrich Gauss četl slepé střevo a odhaloval k Bolyai že on přišel na stejné výsledky nějaký čas dříve. Každý tito muži tak objevili hyperbolickou geometrii nezávisle a žádný z jejich práce by měl být disparaged v tomto světle. Lobachevsky jméno je připojeno právem nejčasnější publikace. Základní rozdíl mezi těmi a dříve pracuje, takový jak Saccheri je, je že oni byli první k unabashedly tvrzení, že Euclidean geometrie nebyla jediná geometrie, ani jediný představitelná geometrická struktura pro vesmír. Nicméně, možnost ještě zůstala že axiómy pro hyperbolickou geometrii byly logicky rozporuplné.
Jak byl zmíněn, více práce na Euclidových axiómech potřebovala být dělán založit elliptic geometrii. Bernhard Riemann, ve slavné přednášce v 1854, založil pole Riemannian geometrie, diskutovat zvláště nápady nyní volaly manifolds, Riemannian metrický, a zakřivení. On budoval nekonečnou rodinu non-Euclidean geometries tím, že dává předpis pro familiy Riemannian metrics na míči jednotky v Euclidean prostoru. Někdy on je nespravedlivě připočítán s jen objevovat elliptic geometrii, ale ve skutečnosti, tato stavba ukáže, že jeho práce byla dalekosáhlá, s jeho teorémy držení pro všechny geometries.
Euclidean geometrie je modelována naším pojmem “byt letadlo.” nejjednodušší model pro geometrii elliptic je koule, kde linky jsou”velké kruhy” (takový jako rovník nebo poledníky na globusu), a body oproti každému jiný být poznán (zvážil to být stejný). Dokonce po práci Lobachevski, Gauss, a Bolyai, otázka zůstala: dělá takový model existovat pro hyperbolickou geometrii? Tato otázka byla odpověděl Beltrami, v 1868, kdo dokázal, že povrch volal pseudosphere má osvojit si zakřivení k modelové hyperbolické geometrii. Jeho práce byla přímo založená na tom Riemann. Význam beltramských pracovních lží v představení ta hyperbolická geometrie byla logicky shodná jestliže Euclidean geometrie byla.
Vývoj non-Euclidean geometries ukázal se velmi důležitý pro fyziku v 20. století. Einstein' s Teorie relativity popisuje prostor jak obecně plochý (tj. Euclidean), ale zakřivený (tj., non-Euclidean) v oblastech blízko kde záležitost je dar. Tento druh geometrie, kde zakřivení se změní z důvodu k bodu, je volán pseudo-Euclidean geometrie.
- Ian Stewart; Flatterland; Perseus vydávání; ISBN 0-7382-0675-X (softcover, 2001)