Normální matice

komplexní čtverec matice normální matice iff

kde ^* je konjugovat přemístit (jestliže je skutečná matice, toto je stejné jak přemístit ).

Příklady normálních matrices jsou nečleněné matrices, hermitian matrices a pozitivní konečné matrices.

To je užitečné myslet na normální matrices v analogii s komplexními čísly, invertible normální matrices v analogii se non-nulová komplexní čísla, konjugovat přemístit v analogii k komplex konjugovat, nečleněné matrices v analogii s komplexními množstvími absolutní hodnoty 1, hermitian matrices v analogii s reálnými čísly a pozitivními konečnými matrices v analogii s pozitivními reálnými čísly.

Představa o normálnosti je hlavně důležitá, protože normální matrices jsou přesně ones ke kterému spektrální teorém platí; jinými slovy, normální matrices jsou přesně ty matrices, které mohou být reprezentovány úhlopříčnou maticí s úctou k vhodně volený orthonormal základ Cⁿ. Formulovaný rozdílně: matice je normální jestliže a jediný jestliže jeho eigenspaces se točily Cⁿ a být pairwise orthogonal s úctou ke standardnímu skalárnímu součinu Cⁿ.

Obecně, součet nebo produkt dvou normálních matrices nemusí být normální. Nicméně, jestliže a B být normální s AB = BA, pak oba AB a + B být také normální a dále my můžeme současně diagonalize a B v následujícím smyslu: tam existuje nečleněná matice U takový ^* a ^* jsou oba matrices úhlopříčky. V tomto případě, sloupce ^* jsou eigenvectors oba a B a tvořit orthonormal bázi Cⁿ.

Jestliže je invertible normální matice, pak tam existuje nečleněná matice U a pozitivní konečná matice R takový to = RU = UR. Matrices R a U být jedinečně předurčený . Toto sdělení může být viděno jak analogový (a zevšeobecňování) polární reprezentace non-nulová komplexní čísla.

Představa o normálním matrices může být celková k normálním operátorům na Hilbert prostorech a k normálním elementům v C-algebras hvězdy.