Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Normed vektorový prostor

V matematice, s 2 - nebo 3-rozměrný vektory s skutečný- cenil záznamy, myšlenka na “délku” vektoru je intuitivní a moci být snadno se rozšířil do nějakého skutečného vektorového prostoru Rn. To dopadá že následující vlastnosti “délky vektoru” jsou ty velmi důležité.

  1. vektor vždy má přísně pozitivní délku. Jediná výjimka je nulový vektor, který má nulu délky.
  2. násobit vektor číslem má stejný účinek na délku.
  3. nerovnost trojúhelníku, který dosahuje hrubě k pověsti, že vzdálenost od k B k C je nikdy kratší než jít přímo od k C.

Jejich zevšeobecňování pro více abstraktní vektorové prostory, vede k ponětí o normě. Vektorový prostor na kterém norma je definována je pak nazýván normed vektorovým prostorem.

Jestliže V je vektorový prostor přes pole K (který musí být jeden reálná čísla nebo komplexní čísla), norma na V je funkce od V k R, skutečné počty a mdash; to je, to se stýká ke každému vektoru v v V reálné číslo, který je obvykle označován | |v| |. Standard musí splnit následující podmínky:

Pro všechny v K a všichni u a v v V,
1. | |v| | a ge; 0 s rovností jestliže a jediný jestliže v = 0.
2. | |v| | = || | |v| |.
3. | |u + v| | a le; | |u| | + | |v| |.

Většina z vlastnictví 1 vyplývá z jiných axiómů, a ve skutečnosti to může být nahrazené následující podmínkou:

1 '. | |v| | non-nula jestliže a jediný jestliže v non-nula.

Užitečný důsledek axiómů normy je nerovnost
| |u ± v| | a ge; | | |u| | - | |v| | |
pro všechny vektory u a v.

Tabulka s obsahem
1 příklady norem
2 vzdálenosti v normed vektorových prostorech
3 konečný-rozměrné normed vektorové prostory
4 lineární mapy a dvojí prostory
5 vidět také

Příklady norem

Euclidean norma

Na Rn, intuitivní ponětí o délce vektoru x = (x1, x2,..., xn) je zajat rovnicí

Toto dává obyčejnou vzdálenost od původu k věci x, důsledek Pythagorean teoréma. Euclidean norma je zdaleka nejvíce obyčejně použitá norma na Rn, ale tam jsou jiné normy na tomto vektorový prostor jak vůle jsou ukazováni dole.

Norma taxíku nebo Manhattan norma

Jméno přijde ze skutečnosti, že standard dává vzdálenost taxi musí zatlouci obdelníkovou uliční mřížku dostat se od původu k věci x.

Ilustrace kruhů jednotky v různých normách.

p- norma

Nechaný pa ge; 1 být reálné číslo.

Si všimnout toho pro p= 1 my dostaneme normu taxíku a pro p= 2 my dostaneme Euclidean normu. Viz též p prostor.

Infinity norma nebo maximální norma

Pojetí kruhu jednotky (soubor všech vektorů normy 1) je různý v různých normách: pro 1-norma kruh jednotky v R2 je kosodélník, pro 2-norma (Euclidean norma) to je známá jednotka kruh, zatímco pro infinity norma to je čtverec. Viďte doprovodnou ilustraci.

Jiné normy

Jiné normy na Rn moci být budován tím, že se spojí nahoře; například

je norma na R4.

Celá nahoře rovnice také dají normy na Cn bez modifikace.

Příklady nekonečného rozměrného normed vektorové prostory mohou být nalezené v Banach prostorovém článku. Navíc, prostor skalárního součinu se stane normed vektorovým prostorem jestliže my definujeme standard jak

Vzdálenosti v normed vektorových prostorech

Pro nějaký normed vektorový prostor my můžeme definovat vzdálenost mezi dvěma vektory u a v jak | |u-v| |. (poznamenat, že Euclidean norma dá svah Euclidean vzdálenosti v této módě.) toto otočí normed prostor do metrického prostoru a dovolí definici pojmů takový jako souvislost a sbližování. Standard je pak nepřetržitá mapa. Jestliže tento metrický prostor je kompletní pak normed prostor je nazýván Banach prostorem. Každý normed vektorový prostor V sedí jako hustý subspace uvnitř prostoru Banache; tento prostor Banache je nezbytně jedinečně definovaný V a je nazýván dokončením V.

Dvě normy | |. | |1 a | |. | |2 na vektorovém prostoru V být nazýván ekvivalentem jestliže tam existovat pozitivní reálná čísla C a D takový to

pro všechny x v V. V tomto případě, dvě normy definují stejná ponětí o souvislosti a sbližování a nepotřebují být význačný pro většinu účelů.

Konečný-rozměrné normed vektorové prostory

Všechny normy na konečný-rozměrný vektorový prostor V být rovnocenný. Od Euclidean prostor je kompletní, my můžeme tak uzavřít, že všichni konečný-rozměrné normed vektorové prostory jsou prostory Banache.

Normed vektorový prostor V je konečný-rozměrný jestliže a jediný jestliže míč jednotky B = {x : | |x| | a le; 1} je kompaktní, který je případ jestliže a jediný jestliže V je místně kompaktní.

Lineární mapy a dvojí prostory

Nejdůležitější mapy mezi dvěma normed vektorovými prostory jsou spojitý lineární mapy. Spolu s těmito mapami, normed vektorové prostory tvoří kategorii. An isometry mezi dvěma normed vektorovými prostory je lineární mapa f který chrání standard (mínit | |f(v) | | = | |v| | pro všechny vektory v). Isometries je vždy spojitý a injective. surjective isometry mezi normed vektorovými prostory V a W je nazýván izometrickým izomorfismem, a V a W být nazýván isometrically isomorphic. Isometrically isomorphic normed vektorové prostory jsou totožné pro všechny praktické cíle.

Když mluví o normed vektor rozmístí, my rozšíříme ponětí o dvojím prostoru vzít standard do účtu. Dvojí V ' normed vektorového prostoru V je doba všech spojitá lineární mapy od V k základu postavit (komplexy nebo reals) a mdash; takové lineární mapy jsou volány “functionals”. Standard funkční a phi; je definován jako supremum | a phi; (v) | kde v zahrnuje všechny jednotkové vektory (tj. vektory normy 1) v V. Toto se otočí V ' do normed vektorového prázdna. Důležitý teorém o spojitých lineárních functionals na normed vektorových prostorech je Hahn-Banach teorém.

Viz též