Teorie odchylky (kvantová mechanika)

V kvantové mechanice, teorie odchylky je soubor schémat přiblížení pro popisovat komplikovaný kvantový systém v podmínkách nějakého jednoduššího. Nápad má začínat jednoduchým systémem a postupně se nadchnout další “rozrušující” Hamiltonian reprezentovat slabou poruchu k systému. Jestliže porucha není příliš velká, různé fyzické kvantity sdružily se s rozrušeným systémem (např. jeho energie srovná a eigenstates) bude být nepřetržitě produkován z těch jednoduchého systému. My můžeme proto studovat bývalý založený na našich znalostech latter.

Tabulka s obsahem

1 aplikace teorie odchylky 2 čas-nezávislá odchylková teorie 2.1 účinky úpadku 3 čas-závislá odchylková teorie

Aplikace teorie odchylky

Teorie odchylky je extrémně důležitý nástroj pro popisovat skutečné kvantové systémy, jak to dopadá jít velmi těžko najít přesná řešení k Schrödinger rovnice pro Hamiltonians dokonce průměrné složitosti; většina Hamiltonians ke kterému my známe přesná řešení, takový jako atom vodíku, quantum harmonický oscilátor a částečka v krabici, být příliš idealizovaný přiměřeně popisovat většinu systémů. Používat teorii odchylky, my můžeme používat známá řešení těchto jednoduchý Hamiltonians tvořit řešení pro široký rozsah více komplikovaných systémů. Například, tím, že přidá perturbative elektrický potenciál k quantum mechanický model atomu vodíku, my můžeme vypočítat malé posuny ve spektrálních čárách vodíku způsobeného přítomností elektrického pole (Starkův jev.) (přísně mluvit, ačkoli, jestliže externí elektrický je jednotný a prodlužuje se do nekonečna, pak je žádný spojený stát vůbec a elektron by nakonec tuneloval ven atomu, bez ohledu na to jak slabý elektrické pole je. Starkův jev je opravdu pseudoapproximation.)

Řešení produkovaná teorií odchylky nejsou přesná, ale oni jsou často extrémně přesní. Typicky, výsledky jsou vyjádřeny v termínech nekonečný mocninová řada to sblížit se rychle k přesným hodnotám když sčítal na vyšší zakázku (ale jediný až do jistého bodu, tyto série jsou typicky asymptotic). V teorii kvantového electrodynamics (QED), ve kterém elektron-foton vzájemné ovlivňování je zpracovaný perturbatively, výpočet elektronu je magnetický moment byl najitý souhlasit s experimentem k jedenácti desetinným místům. V QED a jiné kvantové polní teorie, zvláštní výpočetní techniky známé jako Feynman diagramy jsou používány systematicky sečíst požadavky mocninové řady.

Za nějakých okolností, teorie odchylky je neplatný přístup brát. Toto se stane když systém my přání popsat nemůže být popsané malou odchylkou uloženou na nějakém jednoduchém systému. V kvantovém chromodynamics, například, vzájemné ovlivňování quarks s gluon pole nemůže být zpracovaný perturbatively u nízkých energií, protože energie vzájemného ovlivňování stane se příliš velká. Teorie odchylky také nedokáže popsat státy nejsou vytvořené nepřetržitě, zahrnovat spojené státy a různé kolektivní jevy takový jak solitons. Představit si, například, že my máme systém volný (tj. non-se ovlivňovat) částečky, ke kterému atraktivní vzájemné ovlivňování je představeno. Se spoléhat na formu vzájemného ovlivňování, toto může vytvořit zcela nový soubor eigenstates odpovídajících skupinám částeček pevně skákat k jednomu jiný. Příklad tohoto jevu může být najit v konvenční supravodivost, ve kterém fonon- zprostředkoval přitažlivost mezi elektrony vedení vede k vytvoření korelovaných dvojic elektronů známých jako Cooper páry. Když postavený před takové systémy, jeden obvykle se obrátí k jiným schématům přiblížení, takový jako metoda variational a WKB přiblížení.

Problém non-perturbative systémy byl poněkud zmírněn příchodem moderní počítače. To stalo se praktické dostat numerické non-perturbative řešení pro jisté problémy, použití metod takový jak hustota funkční teorie. Tyto zálohy byly zvláštní výhody pro pole kvantové chemie. Počítače také byly použité uskutečnit odchylkové teoretické výpočty k mimořádně vysokým úrovním preciznosti, který ukázal se důležitý v jaderné fyzice pro buzení teoretické výsledky, které mohou být srovnávány s experimentem.

Čas-nezávislá odchylková teorie

Tam jsou dvě kategorie teorie odchylky: čas-nezávislý a čas-závislý. V této sekci, my diskutujeme o čase-nezávislá odchylková teorie, ve kterém odchylka Hamiltonian je statický (tj., posedne žádnou závislost času.) čas-nezávislá odchylková teorie byla vynalezena Erwin Schrödinger v 1926, brzy po on vynalezl vlnovou mechaniku.

My začneme unperturbed Hamiltonian ₀, který je také převzat mít žádnou závislost času. To má známé energetické stavy a eigenstates, se vynořit z času-nezávislý Schrödinger rovnice:

Pro jednoduchost, my jsme předpokládali, že energie jsou jednotlivé. (0) indexy ukazují, že tyto kvantity jsou spojovány se systémem unperturbed.

My nyní uvedeme odchylku do Hamiltonian. Nechaný V být Hamiltonian reprezentovat slabou fyzickou poruchu, takový jako potenciální energie produkovaná vnějším polem. (tak, V je formálně Hermitian operátor.) nechaný a lambda; být nekonečně malý parametr, který může přijmout hodnoty toulat se nepřetržitě od 0 (žádná odchylka) k 1 (plná odchylka). Rozrušil Hamiltonian je

Energetické úrovně a eigenstates rozrušil Hamiltonian být znovu daný Schrödinger rovnice:

Náš cíl je k expresu _n a |n> v podmínkách energetických stavů a eigenstates starých Hamiltonian. Jestliže odchylka je dostatečně slabá, my můžeme psát je jako mocninová řada v a lambda;:

Když a lambda; = 0, tito sesadí na hodnoty unperturbed, který být první termín v každé sérii. Protože odchylka je slabá, energetické stavy a eigenstates by neměli odchýlit se příliš hodně od jejich unperturbed hodnot a požadavky by měly rychle se zmenšit jak my jdeme do vyššího řádu.

Ucpávat mocninovou řadu do Schrödinger rovnice, my trváme

Rozšiřovat tuto rovnici a srovnávat koeficienty každé síly a lambda; vyústí v nekonečnou řadu simultánních rovnic. Zeroth-rovnice objednávky je jednoduše Schrödinger rovnice pro systém unperturbed. První-rovnice objednávky je

Toto vede k první-objednávat energii posun:

Toto je prostě finanční efekt odchylkové Hamiltonian chvíle systém je v unperturbed stavu. Tento výsledek může být interpretován následujícím způsobem: předpokládat odchylka je aplikována, ale my udržujeme systém v kvantovém stavu |⁽⁰⁾>, který je platný kvantový stav, ačkoli už ne energie eigenstate. Odchylka způsobí průměrnou energii systému zvětšit se o ⁽⁰⁾|V|⁽⁰⁾>. Opravdový energetický posun je nepatrně odlišný, protože my musíme zvažovat rozrušené eigenstate |n> tyto další posuny jsou dány sekundou a odchylkami vyššího řádu.

Trvat první-odchylka objednávky v energii eigenstate, my vložíme náš výraz pro první-objednávat energii přesunout zpět do nad rovnicí mezi první-objednávat koeficienty a lambda;. My pak použijeme řešení identity,

Výsledek je

Pro moment, předpokládat, že tento energetický stav není zvrhlík, tj. není tam žádný jiný eigenstate se stejnou energií. Operátor nalevo strana ruky proto má přesně stanovený inverzní, a my dostaneme

První-objednávat změnu v n- th eigenket energie má příspěvek každého eigenstates energie k a ne; n. Každý termín je úměrný elementu matice ⁽⁰⁾|V|⁽⁰⁾>, který je míra jak hodně odchylka se mísí eigenstate n s eigenstate k; to je také nepřímo úměrné energetickému rozdílu mezi eigenstates k a n, který znamená, že odchylka deformuje eigenstate do větším rozsahu jestliže tam jsou více eigenstates u blízkých energií. My vidíme také že výraz je singulární jestliže některý těchto států mít stejnou energii jako stát n, který je proč my jsme předpokládali, že není tam žádný úpadek.

My můžeme objevit vyšší-objednávat odchylky podobnou procedurou, ačkoli vypočítavosti stanou se docela nudné s naší aktuální formulací. Například, druhý-objednat posun energie je

Účinky úpadku

Předpokládat, že dva nebo více eigenstates energie je zvrhlé. Naše nad vypočítavostí pro první-objednat posun energie je přirozený, ale výpočet změny v eigenstate problematized protože operátor

dělá ne mít přesně stanovený inverzní.

Toto je vlastně conceptual, poněkud než matematický, problém. Si představovat, že my máme dva nebo více rozrušil eigenstates s různými energiemi, který být nepřetržitě produkován ze stejného počtu eigenstates unperturbed, které jsou zvrhlé. Nechaný D naznačovat subspace trvané těmito eigenstates zvrhlíka. Problém spočívá ve skutečnosti, že není tam žádný jedinečný způsob, jak si vybrat východisko pro eigenstates energie pro systém unperturbed. Zvláště, my jsme mohli postavit různý základ pro D tím, že si vybere různé lineární kombinace klenout se nad eigenstates. V takový základ, eigenstates unperturbed odkázaný ne nepřetržitě tvořit rozrušené eigenstates.

My tak vidíme to, v přítomnosti úpadku, teorie odchylky nepracuje s libovolným výběrem základu energie. My musíme místo toho si vybrat základ tak to odchylka Hamiltonian je úhlopříčka v subspace zvrhlíka D. Jinými slovy,

V tom případě, naše rovnice pro první-odchylka objednávky v eigenstate energie sesadí na

Operátor nalevo strana ruky není singulární když platil o eigenstates venku D, tak my můžeme psát

Čas-závislá odchylková teorie

Čas-závislá odchylková teorie, rozvinutý Paul Dirac, studuje účinek času-závislá odchylka V (t) platil o čase-nezávislý Hamiltonian ₀. Protože rozrušil Hamiltonian je čas-závislý, tak být jeho energetické stavy a eigenstates. Proto, branky času-závislá odchylková teorie být mírně odlišný od času-nezávislá odchylková teorie. My zajímáme se o následující kvantity:

• Čas-závislá expectated hodnota některých pozorovatelný , se specifikovaným počátečním stavem.
• Čas-závislé amplitudy těch kvantových stavů, které jsou eigenkets energie v systému unperturbed.

První kvantita je důležitá, protože to dá svah klasickému výsledku měření vykonávané na macroscopic množství kopií rozrušeného systému. Například, my jsme mohli brát být vysídlení v x- směr elektronu v atomu vodíku, v takovém případě finanční efekt, když násobil vhodným koeficientem, dá čas-závislý elektrický polarizace plynu vodíku. S vhodnou volbou odchylky (tj. kmitavý elektrický potenciál), toto dovolí nám spočítat střídavý proud permittivity plynu.

Druhá kvantita dívá se v době-závislá pravděpodobnost zaměstnání pro každého eigenstate. Toto je zvláště užitečné v laserové fyzice, kde jeden zajímá se o populace různých atomových států v plynu když čas-závislé elektrické pole je aplikováno. Tyto pravděpodobnosti jsou také užitečné pro vypočítávat “kvantové šíření” spektrálních čár (viz šíření linky).

My budeme stručně zkoumat myšlenky za Dirac formulací času-závislá odchylková teorie. Si vybrat základ energie {|n>} pro systém unperturbed. (my klesneme (0) horní indexy pro eigenstates, protože to není významné mluvit o energetických stavech a eigenstates pro rozrušený systém.)

Jestliže unperturbed systém je v eigenstate |j> v době t = 0, jeho stát u následujících časů se mění jen fází (my jsme následující Schrödinger obraz, kde vektory státu se vyvinou včas a operátoři jsou konstantní):

My teď zahájíme věk-závislý znepokojovat Hamiltonian V (t). Hamiltonian rozrušeného systému je

Nechaný |a psi; (t)> naznačovat kvantový stav rozrušeného systému v době t. To řídí se časem-závislý Schrödinger rovnice,

Kvantový stav v každém okamžiku může být vyjádřen jako lineární kombinace základu {|n>}. My můžeme psát lineární kombinaci jak

kde _n(t)s být undetermined komplex funguje t který my budeme odkazovat se na jako amplitudy (přísně mluvit, oni jsou amplitudy v Dirac filmu.) my máme výslovně vyjal exponenciální fázové faktory _nt/h) na straně pravé ruky. Toto je jen věc konvence, a smět být dělán bez ztráty všeobecnosti. Důvod my máme tuto námahu je to když systém začne ve státě |j> a žádná odchylka je dar, amplitudy mají příhodnou vlastnost to, pro všechny t, _j(t) = 1 a _n(t) = 0 jestliže n a ne; j.

Absolutní čtverec amplitudy _n(t) je pravděpodobnost že systém je v stavu n v době t, protože

Napojovat se na Schrödinger rovnice a používat skutečnost, že a část; / a část; t skutky pravidla řetězu, my trváme

Tím, že vyřeší identitu v přední straně V, toto může být zredukované na soubor parciálních deferenciálních rovnic pro amplitudy:

Maticové elementy V hrát podobnou roli jak včas-nezávislá odchylková teorie, být úměrný míře u kterého amplitudy jsou posunuty mezi státy. Poznámka, nicméně, že směr posunu je upraven exponenciálním fázovým faktorem. Přes časy hodně delší než rozdíl energie _k-E_n, fáze vine se mnohokrát. Jestliže čas-závislost V je dostatečně pomalu, toto může způsobit amplitudy státu oscilovat. Takové oscilace jsou užitečné pro řídící radiative přechody v laseru.

Až do tohoto bodu, my jsme dělali žádná přiblížení, tak tento soubor diferenciálních rovnic je přesný. Tím, že dodává vhodné počáteční hodnoty _n(0), my jsme mohli v principu objevit přesný (tj. non-perturbative) řešení. Toto je snadno děláno, když jsou tam jen dva energetické hladiny (n = 1, 2), a řešení je užitečné pro systémy modelování jako čpavková molekula. Nicméně, přesná řešení jdou těžko objevit, když tam je mnoho energetických hladin, a jeden místo toho hledá řešení perturbative, který může být získán tím, že vloží rovnice do základní formy:

Tím, že opakovaně substituting tento výraz pro _n zpět do strany pravé ruky, my dostaneme opakovací řešení

kde, například, první-termín objednávky je

Mnoho dalších výsledků může být získáno, takový jak Fermi je zásadní pravidlo, který líčí rychlost přechodů mezi kvantovými stavy k hustotě států u zvláštních energií a série Dysona, trval tím, že aplikuje iterační metodu k časovému evolučnímu operátorovi, který je jeden z výchozích prostorů pro metodu Feynman diagramů.