Filozofie matematiky
Filozofie matematiky je ta větev filozofie který pokouší se odpovědět na otázku takový jak: " proč je matematika užitečný v popsat povahu? ", " ve kterém smyslu, jestliže některý, dělat matematické entity takový jak čísla existují? " a " proč a jak jsou matematická sdělení pravdivá? ".Někteří filozofové matematiky si prohlížejí jejich úlohu jako bytí poskytnout vysvětlení matematiky a matematická praxe jak to stojí, jako výklad poněkud než kritika. Kritiky mohou nicméně mají důležité následky pro matematickou praxi a reklamuje dokončená matematika a tak filozofie matematiky může být velmi přímého zájmu k pracovním matematikům, zvláště v nových polích kde proces recenze vrstevníka matematických důkazů je ne pevně zavedený, zvýšit pravděpodobnost nezjištěné chyby. Takové chyby mohou tak jen být redukovaný tím, že ví to kde oni pravděpodobně vyvstávají. Toto je hlavní zájem filozofie matematiky.
Více nedávno někteří praktici také pokoušeli se líčit matematiku k obecným starostem filozofie: epistemology a etika v zvláštní. Ta znepokojení jsou řešena na konci tohoto článku.
Filozofie matematiky viděla několik různých škol nebo napětí, který primárně zaměřit se na metafyzika otázky, ie, " proč to pracuje? ", " proč matematika vysvětlí fyzický svět jak my vidíme to tak dobře? "
Tři školy, intuitionism, logicism a formalizmus, se objevil kolem začátku 20th století jako odpověď na zvýšeně rozšířené pochopení, že (jak to stálo) matematika, a analýza v zvláštní, nežil ke standardům jistoty a přísnosti se kterým to bylo u konce-připočítaný. Každá škola vyjádří se k otázce to přišlo k na přídi v té době, jeden pokoušet se rozdělit je nebo prohlašovat, že matematika není oprávněná k jeho stavu jak naše nejvíce věřily znalosti.
Jak jistota ubývala, originál problém základů v matematice (" které odvětví matematiky je ten od kterého jiní jsou odvozeni? ") byl zopakován jako otevřené zkoumání založení matematiky a sdílený závislost na jistých jádrových pojetích jako objednávka, a pak konečně jako pole podmnožiny metamathematics který vypadá jednoduše být " matematika užitečný v dělat otevřenou metafyziku o matematice ".
Školy jsou osloveny odděleně tady a jejich předpoklady vysvětlovaly:
Matematický realismus, nebo Platonism
Matematický realismus myslí si, že matematické entity existují nezávisle na lidském rozumu. Tak lidé nevynalezou matematiku, ale spíše objevit to, a nějaké jiné inteligentní bytosti ve vesmíru by pravděpodobně dělaly stejný. Termín Platonism je používán protože takový pohled je viděn k protějšku Plato' s víra v " nebe nápadů ", neměnná konečná realita to everday svět může jen imperfectly přibližný. Plato je pohled pravděpodobně pochází z Pythagoras, a jeho následovníci Pythagoreans, kdo věřil, že svět byl, docela doslovně, vybudoval čísly. Tento nápad může mít ještě starší původy, které jsou neznámé pro nás.
Mnoho pracovních matematiků je matematičtí realisti; oni vidí sebe jako objevitelé. Příklady jsou Paul Erd � s a Kurt G � del. Psychologické důvody byly dávány pro tuto preferenci: to vypadá, že je velmi těžko k preoccupy sám přes dlouhá období času se zkoumáním entity v jehož existenci jeden dělá ne pevně věřit. Gödel věřil v cíl matematická realita, která mohla být povšimla si ve způsobu analogickém s vnímáním smyslu. Jisté principy (eg, pro nějaké dva matematické objekty, objektů je sbírka sestávat z přesně ty dva objekty) mohl být přímo viděný být pravdivý, ale některé dohady, jako hypotéza kontinua, směl ukázat se jako undecidable jen na východisku pro takové principy. Gödel navrhl kvazi-empirická metodologie mohla být používána poskytovat dostatečný důkaz být schopný k rozumně přijmout takový dohad.
Hlavní problém matematického realismu je toto: přesně kde a jak matematické entity existují? Je tam svět, kompletně se oddělit od naší lékařské prohlídky jeden, který je obsazený matematickými entitami? Jak můžeme získat přístup k tomuto oddělenému světu a zjistit pravdy o entitách? Gödel je a Plato je odpovědi na každého těchto otázek být hodně kritizován. Důležitý argument pro matematický realismus, formulovaný Quine a Putnam, je Indispensability argument. To jeden nabídne přesvědčivé odpovědi na takové otázky nebo dovolí nám se rozejít s nimi úplně, ale dělá tak tím, že zbaví matematiku některých jeho epistemic stav.
Indispensability argument je takto: matematika je nutná pro všechny empirické vědy, a jestliže my chceme věřit v realitu jevů popsaných vědami, my máme také věřit v realitu těch entit vyžadovaných pro tento popis. V udržování s Quine a Putnam je celkové filozofie, toto je naturalistický argument. To se zastává existence matematických entit jako nejlepší vysvětlení pro zážitek. Unlike tradičnější verze realismu to nedovolí nám prohlížet si matematiku jako skupina jistých znalostí: na tomto pohledu, matematika je závislá na vědě pro validaci.
Většina forem logicism (vidět dolů) jsou formy matematického realismu. Pro filozofii matematiky, která pokouší se překonat některé ty nedostatky Quine a Gödel má přístupy tím, že vezme aspekty každého vidět Maddy je Realismus v matematice. Intuitionism je klasický příklad anti-realista filozofie matematiky.
Putnam silně odmítl termín "Platonist" jak implikovat příliš-přesný ontologie to nebylo nutné k matematická praxe v nějakém skutečném smyslu - on obhajoval formu " čistý realismus " to odmítlo mystické názory pravdy a přijalo to hodně kvazi-empirismus v matematice - termín to on byl zahrnován v razit (vidět dolů). Příklad teorie to oba obejme realismus a odmítne Platonism je ztělesněná mysl teorie - vidět dolů.
Formalizmus myslí si, že matematická sdělení mohou být myslel na jako prohlášení o důsledkách jistého řetězce manipulace rozhodne. Pro příklad, v " hra " Euclidean geometrie (který je viděn jak sestávat z některé řetězce volaly " axiómy ", a někteří " pravidla závěru " tvořit nové řetězce od daných), jeden může dokázat, že Pythagorean teorém držení (to je, vy můžete tvořit řetězec odpovídat Pythagorean teorém).
Shodnout se k některým verzím formalizmu, obsah matematiky je pak doslovně psané symboly sám. Pak nějaká hra je stejně dobrá a jeden může jen hrát hry, ne ukázat se jako věci o nich. Bohužel, toto neřeší epistemic problémy (co jsou symboly? Oni existují ve věčné, neměnné oblasti?), nevysvětlí užitečnost matematiky, a poskytne matematice naprosto podvrženou aktivitu. Tato verze formalizmu není široce přijímaná.
Druhá verze formalizmu je často známá jak deductivism. V deductivism, Pythagorean teorém, je ne absolutní pravda, ale příbuzný jeden: jestliže vy přikládáte smysl k řetězcům v takový cesta to pravidla hry stanou se pravdivá (ie, opravdová sdělení jsou přidělena do axiómů a pravidla závěru jsou pravda-chránit), pak vy musíte přijímat teorém, nebo, poněkud, výklad vy jste dali to musí být pravdivé sdělení. Stejný je dodržován být pravdivý pro všechna jiná matematická sdělení. Tak, formalizmus nemusí znamenat, že matematika je nic víc než bezvýznamná symbolická hra. To je obvykle doufal, že tam existuje nějaký výklad ve kterém pravidla hry myslí si. Ale to přece dovoluje pracovního matematika pokračovat v jeho práci a opustit takové problémy k filozofovi nebo vědce. Mnoho formalists by říkal, že v praxi systémy axióma být studován bude být navrhnut požadavky vědy nebo ostatních oblastí matematiky.
Hlavní časný podpůrce formalizmu byl David Hilbert, jehož cíl byl kompletní a souhlasný axiomatization všichni matematiky. (" shodný " tady znamená, že žádné rozpory mohou být odvozeny ze systému.) Hilbert chtěl ukazovat důslednost matematických systémů od předpokladu, že " finitary aritmetický " (podsystém obvyklé aritmetiky pozitivních celých čísel, chosen být filosoficky uncontroversial) byl shodný. Hilbertův program byl rozdělil osudnou ránu sekundou G � del je incompleteness teorémy, který říká, že dostatečně výrazné souhlasné axiómové systémy mohou nikdy se ukázat jako jejich vlastní hustota. Od nějakého takového axióma systém by obsahoval finitary aritmetika jako podsystém, Gödel teorém znamenal, že to by bylo nemožné se ukázat jako hustota systému vztažená k tomu (od toho odkázaný pak se ukázat jako jeho vlastní hustota, který Gödel se ukázal byl nemožný).
Hilbert byl zpočátku deductivist, ale, jak smět být jasný od nahoře, on zvažoval jistý metamathematical metody přinést skutečně významné výsledky a byl realista s úctou k finitary aritmetický. Pozdnější, on držel názor, že tam byla žádná jiná významná matematika whatsoever, bezohledně výkladu.
Moderní formalists, takový jak Rudolf Carnap, Alfred Tarski a Haskell karí, pokračovat tvrdit, že matematika je zkoumání formálních axiómových systémů. Matematičtí logici studovat formální systémy ale být jen jak často platonists jak oni jsou formalists.
Formalists být obvykle velmi tolerantní a lákavý k novým přístupům k logice, nestandardní číselné systémy, nové teorie množin etc. Více her, které my studujeme, lepší. Nicméně, ve všech tři těchto příkladů, motivace je kreslena od existovat matematická nebo filozofická znepokojení. " Hry " být nikdy libovolně chosen.
Hlavní problém s formalizmem je to skutečné matematické nápady, které zabírají matematiky jsou daleko vzdálené od nepatrného řetězce hry manipulace zmínily se nahoře. Zatímco vydával důkazy (jestliže správný) mohl v principu být vytvořen v podmínkách těchto her, pravidla jsou jistě ne značný k počátečnímu vytvoření těch důkazů. Formalizmus je také tichý k otázce kterého axióma systémy mají být studován.
Logicism myslí si to logika je pořádné založení matematiky, a to všechna matematická sdělení jsou nutné logické pravdy. Pro příklad, sdělení " jestliže Aristotle je člověk a každý člověk je smrtelný, pak Aristotle je smrtelný " je nutná logická pravda. To logicist, všechna matematická sdělení jsou přesně stejného typu; oni jsou analytický pravdy, nebo tautologie.
Gottlob Frege byl zakladatel logicism. V jeho klíčový Umřít Grundgesetze der Arithmetik (Základní zákony aritmetiky) on vybudoval aritmetika od systému logiky se základním zákonem V (pro pojetí F a G, rozšíření F rovná se rozšíření G jestliže a jediný jestliže pro všechny objekty, Fa jestliže a jediný jestliže Ga), princip, který on si oblíbil být přijatelný jako součást logiky.
Ale Frege je stavba byl vadný. Russell objevil ten základní zákon V je rozporuplný (toto je Russellský paradox). Frege opuštěný jeho logicist program brzy po tomto, ale to bylo pokračoval Russellem a Whitehead. Oni přisuzovali paradox k " zlý circularity " a stavěl komplikovanou teorii větvených typů se zabývat tím. V tomto systému, oni byli nakonec schopní vybudovat hodně moderní matematiky ale v se změnil, a přílišně komplexní, forma (pro příklad, čísla byla různá v každém typu a tam bylo nekonečně mnoho typů). Oni také museli dělat několik kompromisů aby se vyvíjel tak hodně z matiky, takový jak " axióm reducibility ". Dokonce Russell říkal, že tento axióm opravdu nepatřil k logice.
Moderní logicists se vrátili k programu bližší k Frege je. Oni mají opuštěný základní zákon V v prospěch principů abstrakce takový jak Humeův princip (množství objektů spadat pod pojetí F se rovná množství objektů spadat pod pojetí G jestliže a jediný jestliže rozšíření F a rozšíření G moci být dán do osobní korespondence). Frege požadovaný základní zákon V být schopný dát explicitní definice čísel ale všech vlastností čísel může být odvozena z Humeova principu. Toto by nemělo been dost pro Frege protože (parafrázovat jej) to nevyřadí possiblility to Julius Caesar = 2.
Tyto školy tvrdí, že jediné matematické entity, které mohou být výslovně postavené mají požadavek na existenci a should být připuštěn v matematickém projevu.
Typická citace přijde z Leopold Kronecker: " Přirozená čísla přijdou od Boha, všechno jinde je mužská práce. " hlavní silové pozadí Intuitionism byl L.E.J. Brouwer, kdo postuloval novou logiku různý od klasický Aristotelian logika; toto intuistic logika neobsahuje právo vyloučeného středa a proto se šklebí na důkazy rozporem. axióm výběru je také odmítnut. Důležitá práce byla později dělána Errett biskup, kdo zvládal se ukázat jako verze nejdůležitějších teorémů v skutečná analýza uvnitř této kostry.
V Intuitionism, termín " explicitní stavba " je ne čistě definovaný, a to má vedení k kritikám. Pokusy byly předstíral, že použije představy Turing stroj nebo rekurzivní funkce vyplnit tuto mezeru, vést k požadavku, který jen ptá se pohlížet na chování konečný algoritmy být významný a should být vyšetřován v matematice. Toto vedlo ke studiu vypočitatelných čísel, nejprve představil Alan Turing.
Viz též: Matematický constructivism, Matematický intuitionism
Tyto teorie myslí si, že matematická myšlenka je přirozený následek lidského poznávacího aparátu, který se skončí v našem fyzickém vesmíru. Pro příklad, abstraktní představa číslo pramení ze zkušenosti počítání jednotlivé objekty. To je myslel si, že matematika není univerzální a neexistuje v nějakém skutečném smyslu, jiný než v lidských mozkách. Pojem lidí, ale neobjeví, matematika.
Fyzický vesmír může tak být viděn jako konečné založení matematiky: to řídilo vývoj mozku a později určovalo které otázky tento mozek by našel úctyhodného člověka vyšetřování. Nicméně, lidská mysl má žádný zvláštní požadavek na " realita " nebo přístupy k tomu se budovaly ven matematiky; jestliže takové pojmy jak Eulerova identita být " pravdivý " pak oni jsou pravdiví jako mapa lidské mysli a poznání, ne jako mapa něco to " vidí ".
Účinnost matematiky je tak snadno vysvětlil to: matematika byla postavena mozkem v rozkazu být účinný v tomto vesmíru.
Nejdostupnější, slavný, a neslavná léčba tohoto pohledu je Kde matematika přijde z, George Lakoff a Rafael E. N � � ez. (od tohoto kniha byla nejprve vydávána v roku 2000, to může ještě být jeden jen léčby tohoto pohledu.) pro více na vědě, která inspirovala tento pohled, vidět poznávací věda matematiky.
Social Constructivism nebo sociální realismus
Tato teorie vidí matematiku primárně jako sociální pojem jak produkt kultury, podřízeného opravě a změny. Jako jiné vědy, matematika je viděna jako empirická snaha jehož výsledky jsou stále se vyrovnal realitě a smět být vyřazen jestliže oni nesouhlasí s pozorováním nebo neukážou se nesmyslní. Směr matematického výzkumu je nařízen módama sociální skupiny vykonávat to nebo potřebami společnosti financovat to.
Tato teorie se zdá intuitivně špatný daný zdánlivá trvalost matematiky. Ale tato trvalost je ve skutečnosti zakotvený hodně nejistoty:
Jak matematická praxe se vyvine, stav předchozí dokončená matematika je obsazení do pochybnosti, a je přezkoušen a opravený jediný k míře to je požadované nebo požadované potřebami aktuálních aplikací a skupin. Omyly se objeví a přetrvávat, někdy pro generace, a notational zaujatost je obyčejný. Dokončená matematika je často se shodl příliš hodně stavu, a lidová matematika ne dost, náležitý k přes-víra v axiomatický důkaz a recenzi vrstevníka jako praxe.
Matematika také má subcultures. Hlavní objevy mohou být vyrobeny v jednom odvětví matematiky a být významné pro jiného, přesto vztah jde neobjevený z nedostatku sociálního kontaktu mezi matematiky. Každá zvláštnost se tvoří jeho vlastní epistemic komunita a často má velkou potíž komunikovat, nebo motivovat vyšetřování unifikovat dohady, které by mohly líčit odlišné oblasti matematiky.
Jestliže společenský proces ' dělat matematiku ' je viděn jak vlastně vytvářet význam, termín social constructivism je vhodnější. Jestliže nedostatek lidské schopnosti k souhrnu, člověk poznávací zaujatost, nebo chybět dostatečný kolektivní inteligence je viděn jak předcházet chápání ' skutečný ' vesmír ' matematické objekty ', termínový sociální realismus je vhodnější.
Příspěvky k této škole byly dělány Imre Lakatos a Thomas Tymoczko. Někteří zvažují práci Paul Erd � s jako celek k podporovali tento názor (ačkoli on osobně odmítl to) protože jeho jedinečně širokých spoluprácí, který podnítil jiné vidět a studovat " matematika jako společenská aktivita ", e. g. přes Erdos číslo. Toto silně ovlivňoval práci na měřící pověsti ale měl malý vliv na matematice jako takový.
Poněkud než zájem o úzké debaty okolo " skutečná povaha " matematický pravda, nebo a dokonce na praxích jedinečných pro matematiky takový jako důkaz, vzrůstající hnutí od šedesátá léta k devadesátá léta začal ptát se nápadu hledat " základy " nebo nacházet některého jeden " správná odpověď " k proč matematika pracuje. Výchozí prostor pro toto byl Eugene Wigner' s slavný 1960 papír Nesmyslná účinnost matematiky v přírodních vědách, ve kterém on se dohadoval o šťastné náhodě ta matematika a fyzika byli tak dobře si odpovídali, vypadal, že je " nesmyslný " a těžký vysvětlit to.
Ztělesněný-mysl nebo " cognitive " škola a " social " škola byla odezvy na tuto výzvu. Ale debaty zvednutý šel nesnadno omezit k těm:
Jedno paralelní znepokojení, které dělá ne vlastně napadat školy přímo ale ptá se jejich fokusu je pojem kvazi-empirismus v matematice. Toto rostlo od zvýšeně populárního tvrzení v pozdní 20th století to ne jeden založení matematiky mohl být vždy dokázaný existovat. To je také někdy nazvaný ' postmodernismus v matematice ' ačkoli ten termín je zvažován přetížený někteří a urážlivý jiní. To je velmi minimální forma sociálního realismu / constructivism to připustí to kvazi-empirické metody a a dokonce někdy empirické metody moci být část moderní matematická praxe.
Takové metody vždy byly část lidová matematika kterými velkými činy vypočítavosti a měření být někdy dosáhl. Opravdu, takové metody mohou být jediný pojem " důkaz " kultura má.
Hilary Putnamová argumentoval, že nějaká teorie matematického realismu by zahrnovala kvazi-empirické metody. On navrhoval to cizí druh dělat matematika by mohla dobře spoléhat se na kvazi-empirické metody primárně, být ochotný často zřeknout se pečlivý a axiomatický " důkazy ", a ještě být " dělat matematiku " - u možná poněkud větší riziko nedostatku jejich výpočtů. On vyložil docela detailní argument pro toto v Nové směry (ed. Tymockzo, 1998).
Mnoho praktiků a učenci, kteří nejsou zapadali primárně v důkazech udělali zajímavé a důležité poznámky o povaze matematiky:
Judea Pearl prohlašovala, že všichni matematiky jak presently rozuměl byl umístěný na algebra vidět - a navrhoval algebru způsobovat doplňku to - toto je centrální znepokojení filozofie akce a jiná studia jak " vědět to " vztahuje se k " dělat ", nebo znalosti k akce. Nejdůležitější výstup toto bylo nové teorie pravda, pozoruhodně ti si přivlastní k aktivismus a kotvit empirické metody.
Ponětí o filozofii matematiky oddělit se od filozofie jako takový byl kritizován jak vést k " dobří matematici dělat špatnou filozofii " - málo filozofů být schopný proniknout matematické zápisy a kulturu k vlastně líčit tradiční pojmy metafyzika k specializovanějším metafyzickým pojmům ' školy ' nahoře. Toto může vést k přerušení ve kterém matematici pokračují chrlit špatnou a zdiskreditovanou filozofii jako ospravedlnění pro jejich pokračující víru ve světový názor podporovat jejich práci.
Ačkoli sociální teorie a kvazi-empirismus, a obzvláště ztělesněná myšlenková teorie, zaostřili více pozornosti na epistemology implikovaný aktuálními matematickými praxemi, oni padají daleko krátký vlastně líčit toto k obyčejnému člověku vnímání a každodenní porozumění znalosti.
Jak dobře, tam je málo nebo žádné uvažování daný k etika dělající matematiky, to být viděn v technologické kultuře jako absolutní nutnost jehož hodnota nemůže být zpochybňována a jehož implikace nemohou být odmítány - a dokonce jestliže zvláštní větve mají žádný známý účel, nebo být zvažován užitečný primárně nebo jen aby umožnil konflikt, e. g. kryptografie, steganography, který být o tajemstvích udržování nebo zahrnuté matematice v optimalizovat jaderné štěpení reakce v bombách. Zatímco nejvíce by připustil to fyzici nést nějakou mravní odpovědnost pro tyto aktivity, málo chtěli k také tak kritizovat matematiky.
Někteří těchto kritik byli prozkoumáni v sociologie znalostí, ale v matematice generála sám se vyhnul prohlídce často platil o vědách genetika, fyzika, ekonomika nebo medicína. Který je zajímavý v sobě, zatímco matematika je nutná umožnit ty a jiné vědy.
Evoluční psychologie pro příklad obejal názor, že " mysl je počítač " ve smyslu Turing stroj. Co být implikace přijímat abstrakci vznikat vysvětlit počítače formálně, vysvětlit mysl?
Další kritika je ta matematika může být viděna velmi těsně jako věda měření a jako obrovský počet důvěryhodných zkratek snížit potřebu k míře přímo, a zjednodušit vypočítavost. Některé ty školy přiřadily poněkud více významu pro matematiku než tato pouhá pomůcka -- dokonce hledat někdy mravní vedení, nebo estetika pravdy a krása, v jeho abstrakcích. Někteří zvažují toto symptom scientism. Držet filozofii matematiky jak subfield to zeptá se jen nebo primárně ' proč to pracuje? ' předpokládat, že to ve skutečnosti laně pracovat v social nebo biologický smysl, jak protichůdný k doslovnému smyslu fyzika. To je jak nepatřičný v tomto pohledu jak mít, říkat, filozofie zbraní nebo války, oddělený od toho větší social a druh a planetární souvislost s tím.
Tato otázka je obvykle odmítnuta pracovními matematiky jak " vedlejší ", ale kursu oni jsou přesně ti osídlí jehož estetiku důkazu a přísnosti byli už přijímáni -- oni mohou tak být praktický self-výběr zvláštní estetický, a množit to s málo omezeními, obzvláště v těch polích kde matematika není bezprostředně platil o životě.
Konečně, ačkoli mnoho nebo nejvíce matematici nebo filozofové by přijímali sdělení " matematika je jazyk ", toho sdělení je malá pozornost placená k implikacím. Lingvistika je ne platil o projevech nebo symbolových systémech matematiky, to je, matematika je studována ve zřetelně různé cestě než jiné jazyky. Schopnost získávat matematiku a schopnost v tom, nazvaný znalost počtů, je viděn jak oddělit se od gramotnost a přírůstek jazyka.
Někteří argumentují, že toto je náležité k poruchám ne filozofie matematiky, ale lingvistiky a studie o předurčeném člověku gramatika. Tato pole, oni říkají, být nepečlivý dost, a to potřeby lingvistiky k " dosáhnout ". Ale toto znamená, že matematika je neodmyslitelně nadřazená všem jiným znalostem, e. g. ekologická moudrost nahromaděný kulturou lidí žít dál země. Úrovně přísnosti kolísají v jazyce, ale " více " smět ne být " lepší ".
Jiní argumentují to informatika je pořádná studie o těch více " lingvistický " otázky, a to jeho analýza programovací jazyky je také často jen jak vhodný k matematice nebo u nejméně někteří metamathematics.
Viz též: Jazyk _ vzdělání, Filozofie jazyka