Fonon

fonon je quantized způsob chvění vyskytovat se v přísný mříž krystalu, takový jak atomový mříž pevná látka. Studie fononů je důležitá role fyzika pevného skupenství, protože oni přispějí k mnoho z fyzikálních vlastností materiálů, takový jak thermal a elektrická vodivost. Pro příklad, propagace fononů je zodpovědná pro vedení tepla v izolačních látkách a vlastnostech dlouho -vlnová délka fonony dá zvednout se k zvuk v pevných látkách (od této doby jméno fonon).

Shodnout se ke známému výsledku v klasická mechanika, nějaké chvění mříže může být rozloženo do superposition normálních způsobů chvění. Když tyto režimy jsou analyzoval používání kvantová mechanika, oni se nalézají vlastnit nějakou částečku-jako vlastnosti (vidět mávat-dualita částečky.) Když zacházel s jako částečky, fonony jsou bosons vlastnit nulu rotace.

Následující článek podá přehled fyziky fononů.

Tabulka s obsahem

1 Non-se ovlivňovat fonony 1. 1 modelovat mříž 1. 2 mříž mává 1. 3 jednorozměrné fonony 1. 4 vztah rozptylování 1. 5 trojrozměrných fononů 1. 6 hybnosti krystalu 1. 7 plyn fonona 2 chování fonona 2. 8 akustiky a optické fonony

Non-se ovlivňovat fonony

Modelovat mříž

My začneme naše zkoumání fononů tím, že zkoumá mechanické systémy od kterého oni ukážou se. Zvážit to přísný pravidelný (nebo " krystalický ") mříž skládala N částečky. My budeme odkazovat se na tyto částečky jak " atomy ", ačkoli ve skutečné pevné látce oni mohou vlastně být ionty. N je nějaký velký počet, říkat asi 10²³ (Avogadro je číslo) pro typický kus pevné látky.

Jestliže mříž je tuhá, atomy musí být vykonávat vlivy na jednom jiný, aby držel každého atom blízko jeho pozice rovnováhy. Ve skutečných pevných látkách, tyto síly zahrnují Dodávka der Waals síly, covalent svazky, a tak dále, všichni který být nakonec náležitý k elektrický síla; magnetický a gravitační síly jsou obecně zanedbatelné. Síly mezi každým párem atomů mohou být charakterizovány některými potenciální energie funkce V, se spoléhat na oddělení atomů. Potenciální energie celý mříž je suma všech pairwise potenciální energie:

kde r_i je pozice ith atom, a V je potenciální energie mezi dvěma atomy.

To jde extrémně obtížně řešit toto mnoho-problém těla v plné všeobecnosti, v jeden klasický nebo kvantová mechanika. Aby zjednodušil úlohu, my představíme dvě důležitá přiblížení. Firstly, my jen vykonáváme součet přes sousední atomy. Ačkoli elektrické síly ve skutečných pevných látkách se prodlužují do nekonečna, toto přiblížení je nevertheles platný protože pole produkovaná vzdálenými atomy jsou vysílaný. Secondly, my zacházíme s potentials V jak harmonický potentials, který je dovolený jak dlouhý, zatímco atomy zůstanou blízké jejich pozicím rovnováhy. (formálně, toto je děláno Taylor expandovat V o jeho hodnotě rovnováhy.)

Vyplývající mříž může být představil si jako systém míčů spojených jary. Dvě takové mříže jsou ukazovány v číslech dole. Číslo na levých přehlídkách kubická mříž, který je dobrý model pro mnoho druhů krystalické pevné látky. Číslo vpravo ukazuje lineární řetěz, velmi jednoduchá mříž, kterou my odkážeme brzy použití pro fonony modelování. Jiné obyčejné mříže mohou být nalezené v článku na struktura krystalu.

     

Potenciální energie mříže může nyní být psán jak

Tady, & omega je přirozená frekvence harmonický potentials, který my přijmeme být stejný protože mříž je pravidelná. R_i je osa pozice ith atom, který my nyní míra od jeho rovnováha pozice. Součet přes nejbližší sousedy je označován jak "(nn)".

Vlny mříže

Náležitý k spojením mezi atomy, vysídlení jeden nebo více atomů od jejich pozic rovnováhy dá se zvednout k souboru chvění vlny množit přes mříž. Jedna taková vlna je ukazována v čísle dole. amplituda vlny je dáván displacements atomů od jejich pozic rovnováhy. vlnová délka & lambda je označený.

To by mělo být poznamenal, že tam je minimální možná vlnová délka, daný oddělením rovnováhy mezi atomy. Jak my budeme vidět v následujících sekcích, nějaká vlnová délka kratší než toto může být mapováno na vlnové délce déle než .

Ne každá možná mříž chvění má přesně stanovenou vlnovou délku a frekvenci. Nicméně, normální režimy (který, jak my jsme zmínili se o v úvodu, být základní stavba-bloky chvění mříže) dělat posednout přesně stanovené vlnové délky a frekvence. My chceme nyní zkoumat tyto normální režimy v nějakém detailu.

Jednorozměrné fonony

My začneme tím, že studuje nejjednodušší model fononů, jednorozměrný quantum mechanický harmonický řetěz. Formalizmus pro toto jeden-dimenzionální model je rychle generalizable k dva a tři rozměry. Zvažovat lineární řetěz N atomy. Hamiltonian pro toto systém je

kde m je množství každého atomu, a x_i a p_i být pozice a hybnost operátoři pro ith atom. Diskuze podobný Hamiltonians smět být nalezený v článku na quantum harmonický oscilátor.

My představíme soubor N "normální osy" Q_k, definovaný jak jednotlivý Fourier přemění x' s, a N " konjugovat momenta " & Pi definovaný jak Fourier přemění p' s:

Kvantita k bude dopadat být vlnové množství fonona, i. e. 2 & pi podělil vlnová délka. To přijme quantized hodnoty, protože množství atomů je konečné. Forma quantization závisí na volbě hraničních podmínek; pro jednoduchost, my uložíme periodický hraniční podmínky, definovat (N + 1)th atom jak ekvivalentní k prvnímu atomu. Fyzicky, toto odpovídá spojení řetěz u jeho konců. Vyplývat quantization je

Upper spojený k n přijde z minimální vlnové délky uložené rozestupem mříže , jak diskutoval o nahoře.

Tím, že invertuje jednotlivý Fourier přemění k expresu Q' s v termínech x' s a & Pi je v termínech p' s, a používat kanonickou záměnu vztahy mezitím x' s a p' s, my můžeme ukázat to

Jinými slovy, normální osy a jejich konjugovat momenta podřídit se stejný vztahy záměny jako pozice a operátoři hybnosti! Psaní Hamiltonian v podmínkách těchto kvantit,

kde

Poznamenat, že propojení mezi proměnnými pozice byla změněna pryč; jestliže Q' s a & Pi' s byl Hermitian (který oni nejsou), přeměněný Hamiltonian by popisoval N odpojený harmonické oscilátory. Ve skutečnosti, toto Hamiltonian popisuje kvantová polní teorie non-se ovlivňovat bosons.

energie spektrum toto Hamiltonian je snadno trval metodou operátorů žebříku, podobný k quantum harmonický problém oscilátoru. My představíme soubor operátorů žebříku definovaný

Operátoři žebříku uspokojí následující identity:

Jak s quantum harmonický oscilátor, my můžeme pak ukazujeme to _k^{& dýka} a _k příslušně vytvořit a zničit jednoho excitation energie? & omega_k. Tito excitations být fonony.

My můžeme okamžitě odvodit dvě důležité vlastnosti fononů. Firstly, fonony jsou bosons, od nějakého čísla totožný excitations moci být vytvořen opakovanou žádostí operátora vytvoření _k^{& dýka}. Secondly, každý fonon je " kolektivní režim " způsobený pohybem všech atomů v mříži. Toto může být viděno od skutečnosti, že operátoři žebříku obsahují součty přes pozici a operátory hybnosti všech atomů.

Vztah rozptylování

Rovnice trvala nahoře,

je známý jako vztah rozptylování. To líčí frekvenci fonona, & omega_k, k jeho číslu vlny k. Graf vztahu rozptylování je ukazován dole:

Rychlost množení fonona, který je také rychlost zvuku v mříži, je dán sklonem vztahu rozptylování, & část & omega_k/ & částk (vidět rychlost skupiny.) U nízkých cen k (i. e. dlouho vlnové délky), vztah rozptylování je téměř lineární a rychlost zvuku je přibližně & omega, nezávislý na frekvenci fonona. Jako výsledek, balíčky fononů s různý (ale dlouho) vlnové délky mohou množit pro velké vzdálenosti přes mříž bez lámání oddělený. Toto je důvod, že zvuk množí přes pevné látky bez významného pokřivení. Toto chování propadne zeširoka hodnoty k, i. e. krátké vlnové délky, náležitý k mikroskopickým detailům mříže.

To by mělo být poznamenal, že fyzika zvuku v vzduch je odlišný od fyziky zvuku v pevných látkách, ačkoli oba jsou vlny hustoty. Toto je, protože zvukové vlny ve vzduchu množí v plyn náhodně pohybovat molekulami poněkud než pravidelná krystalová mříž.

Trojrozměrné fonony

To je přímé, ačkoli nudný, zevšeobecnit nahoře k trojrozměrné mříži. Jeden shledá, že číslo vlny k je nahrazený trojrozměrným vlnovým vektorem k. Furthermore, každý k je nyní sdružil se s tři normální osy. Hamiltonian má tvar

Nové indexy s = 1, 2, 3 popiska polarizace fononů. V jednom dimenzionálním modelu, atomy byly omezil se na přemísťovat linku tak všechny fonony odpovídal podélným vlnám. Ve třech rozměrech, chvění není omezené na směr propagace, a moci také se vyskytovat ve svislém letadle, jako příčné vlny. Toto dá se zvednout k dalším normálním osám, který, jako forma Hamiltonian signalizuje, my můžeme pohled jako nezávislý druh fononů.

Hybnost krystalu

To je svůdné zacházet s fononem s vektorem vlny k jak ačkoli to má hybnost ?k, analogií k fotony a vlny záležitosti. Toto není úplně správné, pro?k je ne vlastně fyzická hybnost; to je voláno hybnost krystalu nebo pseudomomentum. Toto je protože k je jen předurčený až do násobků konstantních vektorů, známý jako podobná mříž vektory. Pro příklad, v našem jednorozměrném modelu, normální osy Q a & Pibýt definován tak to

pro nějaké celé číslo n. Fonon s číslem vlny k je tak rovnocenný k nekonečný " rodina " fononů s čísly vlny k ± 2 & pi /, k ± 4 & pi /, a tak dále. Fyzicky, podobná mříž akt vektorů jak další " pořádné kusy " hybnosti který mříž může předat k fononu. Bloch elektrony se řídí podobným souborem omezení.

To je obvykle vhodné považovat fonon za vektory vlny k který mít nejmenší velikost (|k|) v jejich " rodina ". Soubor všech takových vlnových vektorů definuje nejprve Brillouin zóna. Další Brillouin zóny mohou být definovány jako kopie první zóny, posunul se nějakou podobnou mříží vektor.

Vkládání Brillouin obraz zóny tady (e. g. pro šestiúhelníkovou mříž)

Plyn fonona

Mříž krystalu u nulová teplota leží v jeho stát země, a obsahuje žádné fonony. Shodnout se k termodynamika, když mříž je držena u non-nula teplota jeho energie není konstantní, ale kolísá náhodně o některých střední hodnota. Tyto fluktuace energie jsou způsobeny náhodnou mříží chvění, který může být viděn jak plyn fononů. (Poznámka: náhodný pohyb atomů v mříži je co my obvykle myslíme na jak teplo.) Protože tyto fonony jsou vytvořeny teplotou mříže, oni jsou někdy odkazoval se na jak teplotní fonony.

Unlike atomy, které tvoří obyčejný plyn, teplotní fonony mohou být vytvořeny nebo zničený náhodnými energetickými fluktuacemi. Jejich chování je podobné k foton plyn vyráběný elektromagnetickou dutinou, wherein fotony mohou být vypouštěny nebo zaujatý dutinovýma stěnami. Tato podoba není náhodná, pro to vypne to elektromagnetické pole se chová jako soubor harmonických oscilátorů; vidět Blackbody radiace. Oba plyny se podřídí Bose-Einstein statistiky: v teplotní rovnováze, průměrné množství fononů (nebo fotony) v daném státě je

kde & omega_{k, s} je frekvence fononů (nebo fotony) ve státě, k_B je Boltzmann je konstanta, a T je teplota.

Chování fonona

Akustika a optické fonony

Ve skutečných pevných látkách, jsou tam dva druhy fononů: " akustika " fonony a " optický " fonony. " akustické fonony ", který být fonony popisovaly nahoře, mají frekvence, které se zmenší u dlouhých vlnových délek, a odpovídat zvukovým vlnám v mříži.

" Optické fonony " vždy mít nějakou minimální frekvenci chvění, a dokonce když jejich vlnová délka je velká. Oni jsou voláni " optický " protože v ionic krystaly (jako chlorid sodíku) oni jsou vzrušení velmi snadno světlem (ve skutečnosti, infračervené záření). Toto je, protože oni odpovídají způsobu chvění kde pozitivní a negativní ionty u přilehlé mříže místa se houpou proti každému jiný, vytvořit věk-měnit elektrický dvojpól moment.