Úvodní stránka | Tato stránka v originále

Polynomial

V algebra, polynomial fungovat, nebo polynomial v krátkosti, je funkce formy

kde x je skalární- oceněný proměnná, n je nonnegative celé číslo, a 0,...,n být připevněn scalars, nazvaný koeficienty polynomial f. Nejvyšší nastávající síla x (n jestliže koeficient n je ne nula) je volán míra f; jeho koeficient je volán vedoucí koeficient. Kde vedoucí koeficient je 1, my popisujeme polynomial jak monic. 0 je volán koeficient konstanty f. Každý summand polynomial formy k xk je volán termín.

Monomials, dvojčleny a trinomials jsou zvláštní případy polynomials s jedním, dva a tři podmínky příslušně.

Polynomial moci být zapsán sigma notace jak:

V počet, scalars být téměř vždy skutečně nebo komplex čísla.

Tabulka s obsahem
1 Polynomials nízkého stupně
2 Polynomials a počet
3 účinné ohodnocení
4 kořeny
5 receptů na kořeny
6 několik proměnných
7 složitosti
8 abstraktní algebry
9 dělitelnosti
10 více proměnných
11 speciality polynomials

Polynomials nízkého stupně

Polynomials

Funkce

je příklad kubické funkce s vedoucím koeficientem - 7 a koeficient konstanty 3.

Polynomials a počet

Poznamenat, že polynomials míry & le n být přesně ty funkce jehož (n+ 1) st derivát je totožně nula.

Jedna důležitá stránka počtu je projekt analyzovat komplikované funkce prostřednictvím toho, že se přiblíží jim s polynomials. Culmination těchto úsilí je Taylorský teorém, který ostře říká, že každý differentiable fungovat místně vypadá jako polynomial, a Weierstrass teorém přiblížení, který říká, že každý spojitý fungovat definovaný na kompaktní pauza skutečné osy moci být se přiblížil v celku pauza jak blízko jak požadovaný polynomial.

Kvocienty polynomials být volán racionální funkce. Piecewise rationals jsou jediné funkce, které mohou být oceněny přímo na počítač, protože typicky jen operace sčítání, násobení, divize a srovnání jsou realizováni v hardware. Všechny ostatní funkce to počítače potřebují ocenit, takový jak goniometrické funkce, logaritmy a exponenciální funkce, muset pak být se přiblížil v software vhodný piecewise racionální funkce.

Účinné ohodnocení

Aby určil funkční hodnoty polynomials pro dané hodnoty proměnné x, jeden neplatí polynomial jako rovnice přímo, ale použití hodně účinnější Horner schéma instead. Jestliže ohodnocení polynomial u mnoho stejně vzdálených bodů je vyžadován, newtonská rozdílná metoda redukuje množství práce dramaticky. Motor rozdílu Charles Babbage byl navrhnut vytvořit velké tabulky hodnot logaritmů a goniometrických funkcí automaticky tím, že ocení se blížit polynomials u mnoho bodů použít newtonskou rozdílnou metodu.

Kořeny

kořen nebo nula polynomial f(x) je číslo r takový to f(r) = 0. Určovat kořeny polynomials, nebo " vyřešit algebraické rovnice ", je mezi nejstarší problémy v matematice. Někteří polynomials, takový jak f(x) = x2 + 1, nemají nějaké kořeny mezi reálná čísla. Jestliže nicméně soubor povolených kandidátů je rozšířen k komplexní čísla, každý (non-konstanta) polynomial má kořen (vidět Základní teorém algebry).

Přiblížení pro skutečné kořeny daný polynomial moci být shledalo používání Newtonská metoda, nebo více efektivně používat Laguerreovu metodu, která zaměstnává aritmetiku komplexu a moci lokalizovat všechny kořeny komplexu. Tito algoritmy být studia v numerická analýza.

Recepty na kořeny

Mezi blížícími se kořeny je rozdíl a beton nálezu zavíral předpisy pro je. Recepty na kořeny polynomials míry nahoru k 4 byli znáni od šestnáctého století (vidět kvadratická rovnice, Cardano, Tartaglia). Ale recepty na míru 5 vyhnul se výzkumníkům na dlouhou dobu. V 1824, Abel se ukázal jako překvapivý výsledek to tam moci být ne obecná rovnice (zahrnovat jediný aritmetické operace a radikálové) pro kořeny polynomial míry & ge 5 v podmínkách jeho koeficientů (vidět Abel-Ruffini teorém). Tento výsledek se otiskoval začátek Galois teorie který se zabývá podrobným pozorováním vztahů mezi kořeny polynomials.

Několik proměnných

V multivariate počet, polynomials v několik proměnných hrát důležitou roli. Tito jsou nejjednodušší multivariate funguje a moci být definován používat sčítání a násobení osamocený. Příklad polynomial v proměnných x, y, a z je

míra úhrnu takový multivariate polynomial moci být dostán tím, že přidá zastánce proměnných v každém termínu, a brát maximum. Nahoře polynomial f(x,y,z) má úplný titul 6.

Složitost

V informatika, my říkáme, že polynomial nejvyšší objednávky n má hrací čas O (xn). Pro příklad, vzít polynomials:

My říkáme toto polynomial má objednávku O (x4). Od definice objednávky, | f (x) | ≤ C | g (x) | pro všechny x > 1, kde C je konstanta.

Důkaz:

kde x > 1
protože x3 x4, a tak dále.

Od definice O-notace nahoře, polynomial je v O (x4)

Abstraktní algebra

V abstraktní algebra, jeden musí dát si pozor rozlišovat mezi polynomials a polynomial funguje.

polynomial f je definován být formální výraz formy

kde koeficienty 0,..., n jsou prvky některých prsten R a ' \ ' X ' ' je zvažován být formální symbol. Dva polynomials být zvažován být se rovnat jestliže a jediný jestliže sledy jejich koeficientů jsou se rovnat. Polynomials s koeficienty v R moci být přidán tím, že prostě přidá korespondenční koeficienty a násobil používání distribuční právo a pravidla

X = X pro všechny elementy prstenu R

Xk Xl = Xk + l pro všechny přirozená čísla k a l.

Jeden může pak zkontrolovat, že soubor všech polynomials s koeficienty v kruhu R tvoří sebe prsten, prsten polynomials přes R, který je označován R[X]. Jestliže R je komutativní, pak R[X] je algebra přes R.

Jeden může myslet na prsten R[X] jak vynořit se z R tím, že přidá jeden nový prvek X k R a jen vyžadovat to X dojíždět se všemi elementy R. V objednávce pro R[X] tvořit prsten, všechny sumy sil X muset být zahrnován jak dobře. Formace polynomial prsten, spolu s tvořícími se faktorovýma prsteny factoring ven ideály, jsou důležité nástroje pro budovat nové prsteny ven známých. Pro příklad, stavba vyčištění konečná pole zahrnuje použití těch operací, vyrazit s polem modula celých čísel někteří prvočíslo jako prsten koeficientu R (vidět modulární aritmetika).

To každý polynomial f v R[X], jeden může se stýkat polynomial fungovat s doménou a rozsahem se rovnat k R. Jeden získá hodnotu této funkce pro daný argument r všude nahrazovat symbol X v f' s výraz r. Důvod, že algebraists muset rozlišovat mezi polynomials a polynomial funguje je to přes některé prsteny R (pro příklad přes konečná pole), dva různý polynomials smět dát zvednout se k stejný polynomial fungovat. Toto není případ přes skutečná nebo komplexní čísla a proto analytici neoddělí dvě pojetí.

Dělitelnost

V komutativní algebra, jedno hlavní ohnisko studia je dělitelnost mezi polynomials. Jestliže R je základní doména a f a g být polynomials v R[X], my říkáme to f předěly g jestliže tam existuje polynomial q v R[X] takový to f q = g. Jeden může pak ukázat, že " každá nula dá se zvednout k lineárnímu faktoru ", nebo více formálně: jestliže f je polynomial v R[X] a r je element R takový to f(r) = 0, pak polynomial (X - r) předěly f. Hovořit je také pravdivý. Kvocient může být počítal používání Horner schéma.

Jestliže F je pole a f a g být polynomials v F[X] s g & ne 0, pak tam existovat polynomials q a r v F[X] s

f = q g + r
a takový to to míra r je menší než míra g. Polynomials q a r být jedinečně určován f a g. Toto je voláno " divize s remainder " nebo "polynomial dlouhé dělení" a ukáže, že prsten F[X] je Euclidean doména.

Analogously my můžeme definovat polynomial " připraví " (více správně, nesnížitelný polynomials) který nemůže být factorized do produktu dva polynomials lesser míra. Spoléhat se na míru polynomial být zvažován, prostě kontrolovat to jestliže polynomial má lineární faktory moci odklidit několik případů, a pak uchylovat se k kontrolovat dělitelnost někteří jiný nesnížitelný polynomials, nicméně Eisensteinovo kritérium moci být používán k více efektivně určovat nezmenšitelnost.

Další proměnné

Jeden také mluví o polynomials v několik proměnných, trval tím, že vezme prsten polynomials prstenu polynomials: R[X,Y] = (R[X]) [Y] = (R[Y]) [X]. Tito jsou základní důležitosti v algebraická geometrie který studuje současné nulové soubory několik takový multivariate polynomials.

Polynomials být často používaný zakódovat informaci o nějakém jiném objektu. charaketristický polynomial matice nebo lineární operátor obsahuje informaci o operátorovi je eigenvalues. minimální polynomial algebraický element zaznamená nejjednodušší algebraický vztah uspokojený tím elementem.

Jiné příbuzné objekty studované v algebře souhrnu jsou formální elektrická série, který být jako polynomials ale smět mají nekonečná míra a racionální funkce, který jsou poměry polynomials.

Specialita polynomials

Viz též: