Elektrická série

V matematika, elektrická série je nekonečná řada formy

kde koeficienty _n, centrum , a argument x být skutečně nebo komplex čísla. Tyto série obvykle vyvstávají jak Taylor série někteří známý funkce; Taylor série článek obsahuje mnoho příkladů.

Tabulka s obsahem

1 okruh sbližování 2 rozlišovat a integrovat elektrickou sérii 3 analytické funkce 4 formální elektrické série

Okruh sbližování

Elektrická série sblíží se pro některé hodnoty proměnné x (u nejméně pro x = ) a smět rozcházet se pro ostatní. To vypne to tam je vždy číslo r s 0 & le r & le & infin takový to série se sblíží kdykoli |x & minus | r a rozchází se kdykoli |x & minus | > r. (Pro |x - | = r my nemůžeme dělat nějaké všeobecné prohlášení.) číslo r je volán okruh sbližování elektrické série; obecně to je dáváno jak

r = lim inf_{n & rarr & infin}     |_n|^{& minus1 /n}

ale rychlý způsob, jak počítat to je

r = lim_{n & rarr & infin}     |_n/_{n+ 1}|.

Druhá rovnice je platná jen jestliže limit existuje, zatímco bývalá rovnice může vždy být použitá.

Série se sblíží absolutně pro |x - | r a se sblíží jednotně na každý kompaktní podmnožina {x : |x & minus | r}.

Rozlišovat a integrovat elektrickou sérii

Jednou funkce je dávána jako elektrická série, to je spojitý kdekoli to se soustředí a je differentiable na vnitřek tohoto souboru. To může být rozlišoval a integrovaný docela snadno, tím, že zachází s každým termínem odděleně:

Oba těchto sérií mají stejný okruh sbližování jak ten originální.

Analytické funkce

Funkce f definovaný na některých otevřená podmnožina U R nebo C je volán analytický jestliže to je místně dané elektrickou sérií. Toto znamená, že každý & isin U má otevřený sousedství V & sube U, takový to tam existuje série síly s centrem který se sblíží k f(x) pro každý x & isin V.

Každá série síly s pozitivním okruhem sbližování je analytická na vnitřek jeho oblasti sbližování. Všichni holomorphic funkce jsou komplexní analytický. Součty a produkty analytických funkcí jsou analytičtí, jak být kvocienty jak dlouho jak jmenovatel je non-nula.

Jestliže funkce je analytická, pak to je nekonečně často differentiable, ale ve skutečném případě hovořit je ne obecně pravdivý. Pro analytickou funkci, koeficienty _n moci být počítán jak

kde f  ⁽ⁿ⁾() naznačuje n- th derivát f u . Toto znamená, že každá analytická funkce je místně reprezentovaná jeho Taylor série.

Globální forma analytické funkce je kompletně určována jeho místním chováním v následujícím smyslu: jestliže f a g jsou dvě analytické funkce definované na stejný připojený otevřený soubor U, a jestliže tam existuje element & isinU takový to f  ⁽ⁿ⁾() = g  ⁽ⁿ⁾() pro všechny n & ge 0, pak f(x) = g(x) pro všechny x & isin U.

Jestliže série síly s okruhem sbližování r je dáván, jeden může zvažovat analytická pokračování série, i. e. analytické funkce f který být definován na větších souborech než { x : |x - | r } a souhlasit se sériemi dané moci na tomto souboru. Číslo r je maximal v následujícím smyslu: tam vždy existuje komplexní číslo x s |x - | = r takový to žádné analytické pokračování série může být definováno u x.

Elektrická sériová expanze inverzní funkce analytické funkce moci být předurčené používání Lagrange teorém opaku.

Formální elektrická série

V abstraktní algebra, jeden pokouší se zachytit příchuť elektrické série bez bytí omezeného na pole skutečných a komplexních čísel, a bez potřeby mluvit o sbližování. Toto vede k pojetí formální elektrická série, princip, který je velké pomůcky v combinatorics.

Poznamenat, že " je element " symbol, se objeví jako čtverec na některých fontech (takový jako standardní obrazovkový font oken)