Primární ideál

V abstraktní algebra, pojetí primární ideály je důležité zevšeobecňování pojetí prvočísla. Jestliže R je komutativní prsten, pak ideál P R je volán připravit jestliže to má následovat dvě vlastnosti:

• kdykoli , b jsou dva elementy R takový to jejich produkt ab leží v P, pak je v P nebo b je v P.
• P je nestejný s celým prstenem R

Toto zevšeobecní následující vlastnictví prvočísel: jestliže p je prvočíslo a jestliže p rozdělí produkt ab dva celá čísla, pak p předěly nebo p předěly b. My můžeme proto říkat

Pozitivní celé číslo n je prvočíslo jestliže a jediný jestliže ideál Zn je primární ideál v Z.

Tabulka s obsahem

1 příklady 2 vlastnosti 3 použití

Příklady

• Jestliže R ukazuje prsten C[X, Y] polynomials ve dvou proměnných s komplex koeficienty pak ideál tvořili polynomial Y² - X³ - X - 1 je primární ideál (vidět elliptic křivka).
• V kruhu Z[X] všichni polynomials s koeficienty celého čísla, ideál vytvořený 2 a X je primární ideál. To sestává ze všech ti polynomials jehož konstantní koeficient je dokonce.
• V nějakém prstenu R, maximal ideál je ideál M to je podmnožina přesně 2 ideály (který musí pak být M sám a celý prsten R). Každý maximal ideál je ve skutečnosti připravit.
• Jestliže M je hladký různý, R je kruh hladkých funkcí na M, a x je bod v M, pak soubor všech hladkých funkcí f s f(x) = 0 tvoří primární ideál (a dokonce maximal ideál) v R.

Vlastnosti

• Ideál Já v komutativním prstenu R je připravit jestliže a jediný jestliže prsten faktoru R / já je základní doména.
• Každý maximal ideál (vidět nahoře) je připravit; ideál Já v komutativním prstenu R je maximal ideál jestliže a jediný jestliže prsten faktoru R/Já je pole.
• Každý komutativní prsten & ne 0 obsahuje u nejméně jednoho primárního ideálu. Ve skutečnosti, to obsahuje přinejmenším jeden maximal ideál, který může být dokázané používání Zorn je lemma.
• Komutativní prsten je základní doména jestliže a jediný jestliže {0} je primární ideál.
• Komutativní prsten je pole jestliže a jediný jestliže {0} je jeho jediný primární ideál, nebo jinak, jestliže a jediný jestliže {0} je maximal ideál.

Použití

Jedno použití primárních ideálů vyskytuje se v algebraická geometrie, kde rozmanitosti jsou definovány jako nulové soubory ideálů v polynomial prsteny. To vypne to nesnížitelné rozmanitosti odpovídají primárních ideálu. V moderním abstraktním přístupu, jeden začne libovolným komutativním prstenem a otočí soubor jeho primárních ideálů, také volal jeho spektrum, do topological prostor a moci tak definovat zevšeobecňování rozmanitostí nazvaný schémata, který najít použití ne jediný v geometrie, ale také v teorie čísel.

Zavedení primárních ideálů v teorie algebraického čísla byl hlavní krok vpřed: to bylo uvědomil si, že obyčejný základní teorém aritmetiky nepracuje v kruhách algebraických celých čísel ale náhrady se nalézal když Dedekind nahradil elementy ideály a primární elementy primárními ideály; vidět Dedekind doména.