Teorém prvočísla

prvočíslo teorém popisuje distribuci prvočísla. Pro některého pozitivní reálné číslo x, my definujeme

Teorém prvočísla pak říká to

kde ln (x) je přirozený logaritmus x. Tento zápis znamená, že limit kvocient dvou funkcí & pi (x) a x/ ln (x) jak x přístupy infinity je 1; to dělá ne znamenat, že limit rozdíl dvou funkcí jak x přístupy infinity je nulový.

An vyrovná lepší přiblížení a odhad termínu chyby, je dán rovnicí

pro x & rarr & infin (vidět velký O notace). Tady Li (x) je vyrovnaný logaritmický základní fungovat.

Tady je stůl, který se ukáže jak tři funkce (& pi (x), x/ ln (x) a Li (x)) porovnat:

x	? (x)	& pi (x) - x/ ln (x)	Li (x) - & pi (x)	x/ & pi (x)
101	4	0	2	2.50 0
102	25	3	5	4.00 0
103	168	23	10	5.95 2
104	1, 229	143	17	8.13 7
105	9, 592	906	38	10.43 0
106	78, 498	6, 116	130	12.74 0
107	664, 579	44, 159	339	15.05 0
108	5, 761, 455	332, 774	754	17.36 0
109	50, 847, 534	2, 592, 592	1, 701	19.67 0
1010	455, 052, 511	20, 758, 029	3, 104	21.98 0
1011	4, 118, 054, 813	169, 923, 159	11, 588	24.28 0
1012	37, 607, 912, 018	1, 416, 705, 193	38, 263	26.59 0
1013	346, 065, 536, 839	11, 992, 858, 452	108, 971	28.90 0
1014	3, 204, 941, 750, 802	102, 838, 308, 636	314, 890	31.20 0
1015	29, 844, 570, 422, 669	891, 604, 962, 452	1, 052, 619	33.51 0
1016	279, 238, 341, 033, 925	7, 804, 289, 844, 392	3, 214, 632	35.81 0
4 · 1016	1, 075, 292, 778, 753, 150	28, 929, 900, 579, 949	5, 538, 861	37.20 0

Jako důsledek teoréma prvočísla, jeden dostat asymptotic výraz pro nth prvočíslo p(n):

Jeden může také odvodit pravděpodobnost to náhodné číslo n je připravit: 1 / ln (n).

Teorém byl tušen Adrien-Marie Legendreová v 1798 a ukázal se nezávisle Hadamard a de la Vall � e Poussin v 1896. důkaz použil metody od komplexní rozbor, specificky Riemann zeta fungovat. Nowadays, takzvaný " základní " důkazy jsou dostupné to jediné užívací číslo teoretické prostředky. První tito byli poskytováni částečně nezávisle Paul Erdös a Atle Selberg v 1949 ačkoli to bylo předtím věřil, že takové důkazy se jen skutečnými proměnnými mohly ne se nalézat.

Protože spojení mezitím Riemann zeta fungovat a & pi (x), Riemann hypotéza má značný význam v teorie čísel: jestliže ustavený, to by dalo mnohem lepší odhad chyby zapojené do teoréma prvočísla než je dostupný dnes.

Helge von Koch v 1901 ukázal, že více specificky, jestliže Riemann hypotéza je pravdivá, termín chyby v nahoře vztah může být zlepšen k

Zahrnutá konstanta v O-zápis je neznámý.