Produkt (teorie kategorie)

V teorie kategorie, jeden definuje produkty zevšeobecnit stavby takový jak kartézský součin souborů, produkt skupin, produkt prstenů a produkt topological prostory. V podstatě, produkt rodiny objektů je " nejobecnější " namítat který připustí morphism ke každému daných objektů.

Předpokládat C je kategorie, Já je soubor, a pro každého i v Já, objekt X_i v C je dáván. Objekt X, spolu s morphisms p_i : X & rarr X_i pro každého i v Já je volal produkt rodiny (X_i) jestliže, kdykoli Y je objekt C a q_i : Y & rarr X_i být dáván morphisms, pak tam existuje přesně jeden morphism r : Y & rarr X takový to q_i = p_ir.

Nahoře definice je příklad univerzální vlastnictví; ve skutečnosti, to je specialita limit. Ne každá rodina (X_i) potřebuje mít produkt, ale jestliže to dělá, pak produkt je jedinečný v silném smyslu: jestliže p_i : X & rarr X_i a p'_i : X  ' & rarr X_i jsou dva produkty rodiny (X_i), pak tam existuje jedinečný isomorphism r : X & rarr X  ' takový to p'_ir = p_i pro každého i v Já.

An prázdný produkt (i. e. Já je prázdný soubor) je stejný jak objekt terminálu v C.

Jestliže Já je soubor takový to všechny produkty pro rodiny indexovaly s Já existovat, pak to je možné vybrat si produkty v slučitelné módě tak to produkt změní se na functor C^Já & rarr C. Produkt rodiny (X_i) je pak často naznačoval & PiX_i, a mapy p_i být známý jak přirozené projekce. My máme přirozený isomorphism

(kde Mor_C(U,V) označuje soubor všech morphisms od U k V v C, levý produkt je jeden v C a pravice je kartézský součin souborů).

Jestliže Já je konečný soubor, říkat Já = {1,...,n}, pak produkt objektů X₁,...,X_n je často označován X₁×... ×X_n. Předpokládat všechny konečné produkty existovat v C, produkt functors byli vybráni jak nahoře, a 1 označuje objekt terminálu C odpovídající prázdnému produktu. My pak mít předurčeného člověka isomorphisms

Tyto vlastnosti jsou formálně podobné těm komutativní monoid.